\begin{TP}[Théorème d'Al-Kashi]\label{1G3_al_kashi}

Tout le monde connaît le théorème de Pythagore (mais rappelons-le tout de même) :

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2=AB^2+AC^2$.

Autrement dit, quand on connaît les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle, on peut calculer la longueur du troisième. Oui, mais si le triangle n'est pas rectangle ?

\partie{Théorème d'Al-Kashi}

On considère un triangle $ABC$ quelconque.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.8]
   \draw (0,0)--(4,1)--(2,3)--(0,0) ;
   \draw (4,1) node[below]{$B$} ;
   \draw (2,3) node[above]{$C$} ;
   \draw (0,0) node[below]{$A$} ;
   %\draw (2,0.5) node[below]{$c$} ;
   %\draw (3,2) node[right]{$a$} ;
   %\draw (1,1.5) node[left]{$b$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
  %\item Justifier que $BC^2=\left(\vv{BA}+\vv{AC}\right)\cdot\left(\vv{BA}+\vv{AC}\right)$.
  \item Développer $\left(\vv{BA}+\vv{AC}\right)\cdot\left(\vv{BA}+\vv{AC}\right)$.
  \item En déduire que $BC^2=AB^2+AC^2-2AC\times AB\cos\left(\widehat{BAC}\right)$.
  \item Par symétrie des notations, écrire :
  \begin{itemize}
    \item $AC^2$ en fonction de $BC$, $AB$ et $\widehat{ABC}$ ;
    \item $AB^2$ en fonction de $BC$, $AC$ et $\widehat{ACB}$.
  \end{itemize}
  \item \begin{enumerate}
          \item Expliquer pourquoi cette formule est aussi appelée théorème de Pythagore généralisé.
          \item D'une manière générale, quand on connaît les longueurs de deux côtés d'un triangle, peut-on calculer la longueur du troisième ? Si non, de quelle information supplémentaire a-t-on besoin ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{Résolution de triangle}

En géométrie, résoudre un triangle consiste à en donner les longueurs des côtés et les mesures des angles.
\begin{enumerate}
  \item On considère un triangle $ABC$ avec $AB=2$, $AC=5$ et $\widehat{BAC}=45$\degre.
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer la longueur $BC$ avec le théorème d'Al-Kashi.
    \item Déterminer les mesures des angles de $ABC$. On arrondira à $\nombre{0,1}$\degre près.
  \end{enumerate}
  \item Résoudre le triangle $ABC$ avec $AB=\ucm{7}$, $BC=\ucm{5}$ et $\widehat{ABC}=20$\degre. On arrondira les longueurs à $\ucm{0,1}$ et les mesures des angles à $\nombre{0,1}$\degre près.
\end{enumerate}

\partie{Résolution de triangle (mais plus dur...)}

On considère un triangle $ABC$ avec $AB=\ucm{2}$, $AC=\ucm{5}$ et $\widehat{ABC}=60$\degre.
\begin{enumerate}
  \item Tracer un triangle correspondant à ces conditions.
  \item  \'Ecrire le théorème d'Al-Kashi faisant intervenir l'angle $\widehat{ABC}$ et remplacer par les valeurs connues.
  \item \begin{enumerate}
          \item Résoudre l'équation $x^2-2x-21=0$.
          \item Résoudre le triangle $ABC$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{TP} 