\begin{TP}[En passant par la médiane][\tice]\label{1G3_mediane}

Dans ce TP, on considère deux points du plan $A$ et $B$ fixés et un réel positif $k$.

\partie{Avec un logiciel de géométrie dynamique}

On s'intéresse à l'ensemble des points $M$ vérifiant l'équation $MA^2+MB^2=k$, dont on dit que c'est une ligne de niveau.
\begin{enumerate}
  \item Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.
  \item Créer deux points $A$ et $B$ « pas trop éloignés » et un curseur $k$ variant entre 0 et 100 avec un pas de 1 et le régler sur 50.
  \item Soit $M(x;y)$ dans un repère orthonormé, traduire $MA^2+MB^2=k$ en termes de coordonnées.
  \item \begin{enumerate}
          \item Dans la barre de saisie, écrire \verb"(x-x(A))^2+(y-y(A))^2+(x-x(B))^2+(y-y(B))^2=k".
          \item Quelle semble être la nature de l'ensemble des points $M$ vérifiant $MA^2+MB^2=k$ ?
          \item Faire varier $k$ et affiner la conjecture faite à la question précédente (on pourra éventuellement créer d'autres points).
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{Avec le théorème de la médiane}

\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Soit $I$, le milieu de $[AB]$. Exprimer $\vv{IA}$ et $\vv{IB}$  en fonction de $\vv{AB}$.
  \item En déduire que $MA^2+MB^2=\left(\vv{MI}-\dfrac{1}{2}\vv{AB}\right)^2+ \left(\vv{MI}+\dfrac{1}{2}\vv{AB}\right)^2$.
  \item Démontrer le théorème de la médiane :

  Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan et $I$ le milieu de $[AB]$.

Pour tout $M$ du plan, $MA^2+MB^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$.
  \item Montrer que $MA^2+MB^2=k$ est équivalent à $MI^2=\dfrac{2k-AB^2}{4}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item En déduire pour quelles valeurs de $k$ il existe des points $M$ vérifiant $MA^2+MB^2=k$.
          \item Quel est alors l'ensemble des points $M$ vérifiant $MA^2+MB^2=k$ ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{Une autre ligne de niveau}

On s'intéresse maintenant à une autre ligne de niveau, l'ensemble des points $M$ vérifiant l'équation $\vv{MA}\cdot \vv{MB}=k$.
\begin{enumerate}
  \item En s'inspirant du travail fait dans les parties précédentes, déterminer l'ensemble des points $M$, vérifiant $\vv{MA}\cdot \vv{MB}=5$ dans le cas où $A(1\ ;\ 2)$ et $B(4\ ;\ -2)$ dans un repère orthonormé.
  \item Donner, dans le cas général, l'ensemble des points vérifiant $\vv{MA}\cdot \vv{MB}=k$.
\end{enumerate}
\end{TP} 