% Met 7
\begin{methode*2}[Résoudre $\sin x=a$ avec $x \in \R{}$
  \MethodeRefExercice*{exo50-G2}]
  Pour résoudre l'équation $\sin x=a$ pour $x \in\R{}$, on résout
  d'abord cette équation dans\linebreak $]-\pi\ ;\ \pi]$.
  \begin{enumerate}
  \item Dans le cas général $a\in \left]-1\ ;\ 1\right[$, il existe un
    unique nombre $b$ dans $\left]-\dfrac{\pi }{2}\ ;\
      \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $a = \sin b$.  L'équation est
    donc équivalente à $\sin x = \sin b$, ce qui est équivalent à
    $x=b$ ou $x = \pi - b$.

    \item L'ensemble des solutions dans ${\mathbb{R}}$ est obtenu en
      soustrayant ou en ajoutant un nombre entier de fois $2\pi$ : $b+k
      \times 2\pi$ et  $\pi - b+k \times 2\pi$, $ k\in \mathbb{Z}$.
    \end{enumerate}

    \exercice\label{Methode-Resoudre-sin}

    Résoudre l'équation $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans ${\mathbb{R}}$.

    \correction

      On remarque que l'équation est équivalente à $\sin x=\sin
      \dfrac{\pi }{4}$

      Les solutions de cette équation dans $\left]-\pi \ ;\ \pi
      \right]$ sont $x=\dfrac{\pi }{4}$ et $x=\pi -\dfrac{\pi
      }{4}=\dfrac{3\pi }{4}$ dont les points-images sur le cercle sont
      $A$ et $B$.

      Les solutions dans ${\mathbb{R}}$ sont donc :

      $\dfrac{\pi }{4}+k\times 2\pi $ et $\dfrac{3\pi }{4}+k\times
      2\pi $ , ${k\in \mathbb{Z}}$

      \centerline{\includestandalone[scale=.6]{\pathmanuel/figures/figure-methode-7}}

  \end{methode*2}
