\section{Équations et inéquations trigonométriques}
\MotDefinition[Équations trigonométriques]{}{}
\subsection{Équations $\cos x=a$ ou $\sin x=a$ avec $a\in{}\R$}

% Met 6
\begin{methode*1}[Résoudre $\cos x=a$ avec $x\in{}\R$
  \MethodeRefExercice*{ex51G2}]
  
  Cela revient à chercher les points-images sur le cercle dont
  l'abscisse est égale à $a$.
  \begin{enumerate}
  \item Pour résoudre l'équation $\cos x=a$ pour $x\in{}\R$, on résout
    d'abord cette équation dans $\left]-\pi{}\ ;\ \pi{}\right]$. 

    \parpic[r]{\includestandalone[scale=0.75]{\pathmanuel/figures/img-14}}

  \item Dans le cas général, $a\in{}\left]-1\ ;\ 1\right[$.

    Il existe un unique nombre $b$ dans $\left]0\ ;\ \pi{}\right[$ tel que
    $a = \cos b$. Les solutions de $\cos x = \cos b$ sont par
    conséquent $b$ et $-b$. Une valeur approchée de $b$ peut être
    obtenue à l'aide de la calculatrice : on met la calculatrice en
    mode radians puis on utilise \tisymbol{y} \tisymbol{\symbol{153}}
    $a$.

  \item L'ensemble des solutions dans $\R$ est obtenu en soustrayant ou
    en ajoutant un nombre entier de fois $2\pi$ :

    $b+k\times{}2\pi{}$ et $-b+k\times{}2\pi{}$, $k\in{}\Z$.
  \end{enumerate}

  \exercice\label{Methode-Resoudre-cos}

  Résoudre dans $\left]-\pi{}\ ;\ \pi{}\right]$ puis dans
  $\R$ l'équation $\cos x=\dfrac{1}{2}$.

  \correction

  On sait que $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$. L'équation $\cos x
  = \cos \dfrac{\pi}{3}$ a deux solutions dans l'intervalle
  $\left]-\pi{}\ ;\ \pi{}\right]$ : $\dfrac{\pi{}}{3}$ et
  $-\dfrac{\pi{}}{3}$.

  Dans $\R$, cette équation a une infinité de solutions. Les deux
  solutions précédentes sont encore valables plus toutes celles que
  l'on obtient en ajoutant ou en soustrayant un nombre entier de fois $2\pi$.

  Les solutions sont
  $\dfrac{\pi{}}{3}+k\times{}2\pi{}$ et $-\dfrac{\pi{}}{3}+k\times{}2\pi{}$, $k\in{}\Z$.
\end{methode*1}
