\begin{proprietes} 
  \begin{enumerate}
  \item $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$
  \item $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
  \end{enumerate}

  \vspace{-\baselineskip}
\end{proprietes}

\vspace{-2mm}

\begin{preuve}
  \begin{enumerate}
  \item En rempla\c{c}ant $b$ par $a$ dans la formule \textbf{1)} de la
    propriété précédente, on obtient la formule de duplication
    suivante :
    $\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2a$
    
    Or $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$ donc on peut remplacer $\sin^2a$ par
    $1-\cos{^2}a$ dans la formule précédente et on obtient
    $\cos 2a=\cos{} ^2a-\left(1-\cos{} ^2a\right)=2\cos{} ^2a-1$, formule qui
    a été conjecturée dans l'\textbf{activité 3} p.~\pageref{activite3G2}.
    En rempla\c{c}ant $\cos{^2} a$ par $1- \sin^2a$, on obtient
    également :

    $\cos 2a = \left(1-\sin^2 a\right) - \sin^2 a = 1-2\sin^2a$

  \item En rempla\c{c}ant $b$ par $a$ dans la formule \textbf{3)} de la
    propriété précédente, on obtient la formule de duplication
    suivante: $\sin 2a = 2\sin a \cos a$.
  \end{enumerate}
\end{preuve}
