\subsection{Formules de duplication}

\begin{propriete}
  Quels que soient les nombres $a$ et $b$ :\MotDefinition[Formules de duplication]{}{}
  \begin{colenumerate}{2}
  \item $\cos\left(a+b\right)=\cos a \cos b-\sin a\sin b$
  \item $\cos\left(a-b\right)=\cos a \cos b+\sin a\sin b$
  \item $\sin\left(a+b\right)=\sin a \cos b+\sin b\cos a$
  \item $\sin\left(a-b\right)=\sin a \cos b-\sin b\cos a$
  \end{colenumerate}
\end{propriete}

\vspace{-1.5mm}

\begin{preuve}
  \begin{enumerate}
  \item Admis ici.
  \item On obtient cette égalité à partir de l'égalité \textbf{1)} en
    remplaçant $b$ par $-b$:

    $
    \cos\left(a-b\right) = \cos\left(a+\left(-b\right)\right) =\cos
    a \cos\left(-b\right)-\sin a \sin\left(-b\right)=\cos a \cos b +
    \sin a \sin b
    $

  \item $\sin\left(a+b\right) = \cos\left(\dfrac{\pi{}}{2} -
      \left(a+b\right)\right) =
    \cos\left(\left(\dfrac{\pi{}}{2}-a\right)-b\right)$

    Et donc d'après \textbf{2)} $\sin\left(a+b\right) =
    \cos\left(\dfrac{\pi{}}{2}-a\right)\cos b +
    \sin\left(\dfrac{\pi{}}{2}-a\right)\sin\left(b\right)$.

    Or $\begin{cases}
      \cos\left(\dfrac{\pi}{2} -x\right) = \sin x\\
      \sin\left(\dfrac{\pi}{2} -x\right) = \cos x.
    \end{cases}$

    On en déduit donc $\sin\left(a+b\right)=\sin a \cos b + \cos a
    \sin b$.

  \item On remplace $b$ par $-b$ dans l'égalité (3). Cela donne :

    $\sin\left(a-b\right) = \sin\left(a+\left(-b\right)\right) =
    \sin a \cos\left(-b\right)+\sin\left(-b\right) \cos a = \sin a
    \cos b - \sin b \cos a$
  \end{enumerate}
\end{preuve}
