% Met 3
\begin{methode*1}[Calculer $\sin x$ quand on connaît $\cos x$
  \MethodeRefExercice*{ex32G2}]
  \begin{enumerate}
  \item On utilise l'égalité ${\left(\cos x\right)}^2+{\left(\sin
        x\right)}^2=1$ pour calculer ($\sin x){^2}$.

  \item On détermine le signe de $\sin x$ en utilisant 
    l'intervalle auquel appartient $x$ :
    \begin{itemize}
    \item si la mesure principale de $x$ appartient à
      $\left]0\ ;\ \pi{}\right[$, alors $\sin x>0$\ ;\ 

    \item sinon si la mesure principale de $\left]-\pi{}\ ;\
        0\right[$, alors $\sin x<0$.
    \end{itemize}
  \item On conclut sur la valeur exacte de sin $x$.
  \end{enumerate}

  \exercice\label{Methode-Calc-sin}

  Calculer $\sin\dfrac{\pi{}}{3}$ sachant que
  $\cos\dfrac{\pi{}}{3}=\dfrac{1}{2}$.

  \correction

  $\left(\cos\dfrac{\pi{}}{3}\right)^2+{\left(\sin\dfrac{\pi{}}{3}\right)}^2=1$
  est équivalent à
  ${\left(\sin\dfrac{\pi{}}{3}\right)}^2=1-{\left(\cos\dfrac{\pi{}}{3}\right)}^2$
  
  soit
  ${\left(\sin\dfrac{\pi{}}{3}\right)}^2=1-{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$.
  Donc $\sin\dfrac{\pi{}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ou
  $\sin\dfrac{\pi{}}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

  Or $\dfrac{\pi{}}{3}\in{}\left]0\ ;\ \pi{}\right[$ donc
  $\sin\dfrac{\pi{}}{3}>0$.  En conclusion,
  $\sin\dfrac{\pi{}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\end{methode*1}

\begin{remarque}
  On calcule la valeur exacte de $\sin x$ quand on connaît $\cos x$ de
  la même façon. Si la mesure principale de $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\
  ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, alors $\cos x \geq 0$ sinon $\cos x < 0$.
\end{remarque}

\begin{notation}
  On note souvent $\cos^2x$ et $\sin^2x$ au lieu de $\left(\cos
    x\right)^2$ et $\left(\sin x\right)^2$.
\end{notation}

\begin{valeurspart}\par
  \begin{tableau}[C]{.5\linewidth}{6}{>{\centering}m{1cm}}
      \hline $x$ & 0 & \TopStrut[1.5]\BotStrut[2]$\dfrac{\pi{}}{6}$ & $\dfrac{\pi{}}{4}$ &
      \TopStrut[1.5]\BotStrut[2]$\dfrac{\pi{}}{3}$ & $\dfrac{\pi{}}{2}$ \tabularnewline\hline $\cos x$ & 1 &
      \TopStrut[1.75]\BotStrut[2]$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ &
      0 \tabularnewline\hline 
      \TopStrut[1.75]\BotStrut[2]$\sin x$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
      & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 \tabularnewline\hline
    \end{tableau}
\end{valeurspart}

\begin{remarque}

  \begin{minipage}[t]{.65\linewidth}
    On note la symétrie du tableau. Elle est liée à la symétrie par
    rapport à la bissectrice de $\widehat{IOJ}$ qui passe par le
    point-image de $\dfrac{\pi{}}{4}$. Pour mémoriser ce tableau, il
    suffit donc de se rappeler des trois valeurs suivantes :
    $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
  \end{minipage}
  \begin{minipage}{.35\linewidth}
    \centering
    \par\vspace{-8cm}
    \habillage{\includestandalone{\pathmanuel/figures/img-11}}
  \end{minipage}
\end{remarque}
