\begin{proprietes}
  Pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier relatif $k$ :
  \begin{enumerate}
  \item $\left(\cos x\right)^2 + \left(\sin x\right)^2 = 1$
  \item $-1\leqslant{}\cos x\leqslant{}1$ et
    $-1\leqslant{}\sin x\leqslant{}1$
  \item $\cos\left(x+k\times{}2\pi{}\right)=\cos x$ et
    $\sin\left(x+k\times{}2\pi{}\right) = \sin x$
  \end{enumerate}
\end{proprietes}

\begin{preuve}
 Soit $M$ le point-image du nombre réel $x$.
  \begin{enumerate}
  \item Ses coordonnées sont ($\cos x\ ;\ \sin x$) et $M\in{}C$ donc $OM
    = 1$, ce qui se traduit par
    $\sqrt{\left(x_M-x_O\right)^2+{\left(y_M-y_O\right)}^2} = 1$
    c'est-à-dire $\sqrt{\left(\cos x\right)^2 + \left(\sin x\right)^2}
    = 1$, d'où la conclusion.
  \item L'égalité \textbf{1)} entraîne immédiatement $\left(\cos
      x\right)^2\leqslant{}1$ et $\left(\sin x\right)^2\leqslant{}1$
    car les deux expressions $\left(\cos x\right)^2$ et $\left(\sin
      x\right)^2$ sont positives ou nulles. Or quel que soit un réel,
    $x^2\leqslant{}1$ est équivalent à $-1\leqslant{}x\leqslant{}1$,
    d'où le résultat.
  \item Soit $M'$ le point-image du nombre réel
    $x+k\times{}2\pi{}$. Les points $M$ et $M'$ sont confondus. Ils
    ont donc même abscisse et même ordonnée.
  \end{enumerate}
\end{preuve}