\section{\MotDefinition{Cosinus}{} et \MotDefinition{sinus}{} d'un
  réel et d'un angle orienté}

\subsection{Repérage à l'aide du cosinus et du sinus}

\begin{theoreme}[Coordonnées d'un point du cercle trigonométrique]
  Soit $x$ un nombre réel et $M$ le point-image de $x$ sur le cercle
  trigonométrique $C$.

  Le point $M$ a pour coordonnées $(\cos x\ ;\ \sin x)$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
  \habillage{\includestandalone[scale=.8]{\pathmanuel/figures/img-10}}
  
  Soit $M$ le point-image d'un réel $x$ tel que
  $x\in{}\left[0\ ;\ \dfrac{\pi{}}{2}\right]$.  

  On note respectivement $P$ et $Q$ les projetés orthogonaux de $M$
  sur ($OI$) et ($OJ$).

  Dans le triangle $OPM$ rectangle en $P$ :

  $\cos x=\dfrac{OP}{OM}$. Or $OM = 1$ donc $OP = \cos x$. 

  Par conséquent, le point $M$ a pour abscisse $\cos x$. 

  On montre de même que $\sin x=\dfrac{PM}{OM}$.

  Or $PM = OQ$ et $OM = 1$, on en déduit que $OQ = \sin x$ et, par
  conséquent, $M$ a pour ordonnée $\sin x$.

  Si $x \notin \left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, on peut démontrer le théorème en
  utilisant des symétries. 
\end{preuve}

\begin{exemples}
  \begin{itemize}
  \item Le nombre réel 0 a pour point-image $I$(1 ; 0) donc
    $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.

  \item Le nombre réel $\dfrac{\pi{}}{2}$ a pour point-image $J$(0 ; 1)
    donc $\cos\dfrac{\pi{}}{2}=0$ et $\sin\dfrac{\pi{}}{2}=1$.
  \end{itemize}
\end{exemples}
