\begin{exercice}[Prendre la tangente][\calculatrice]

Un navigateur passant devant le Cap Horn par temps calme décide de
mesurer la hauteur $SH$ de ce rocher.

\begin{center}
  \includegraphics{\pathmanuel/figures/img-33}
\end{center}

On rappelle que $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Le navigateur a
mesuré les angles géométriques, puis $\alpha$ et $\beta$ ainsi que la
distance $AB$ entre les deux points de mesure.
\begin{enumerate}
\item Expression de $SH$ avec tan
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $SH = (AB + BH) \tan \alpha$.
  \item En déduire que $SH = AB \dfrac{\tan \alpha \times
      \tan\beta}{\tan\beta - \tan \alpha}$.
  \end{enumerate}

\item Expression de $SH$ avec sin
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\tan \beta - \tan \alpha = \dfrac{\sin (\beta -
      \alpha)}{\cos\alpha \cos\beta}$.

  \item En conclure que $SH = AB \dfrac{\sin\alpha \times
      \sin\beta}{\sin (\beta - \alpha)}$.
  \end{enumerate}

\item Application numérique

  En utilisant l'expression obtenue en \textbf{2) b)} calculer la hauteur
  $SH$ avec les données suivantes :

  $AB = 200$~m, $\alpha = 12,9$\degres, $\beta = 14,4$\degres.
\end{enumerate}
\end{exercice}
