\begin{exercice}[Angle de tir maximal][\tice]

    Lors d'un match de football, un joueur s'avance vers le but avec
    l'intention de tirer. Il est décalé de la distance $d =BC$ mètres
    latéralement par rapport au poteau de but le plus proche $C$ et se
    trouve à $x$ mètres du bord du terrain $B$ sur la ligne de
    corner. La largeur des buts est la distance $CD = 7,32$~m.

    \begin{center}
      \includegraphics{\pathmanuel/figures/img-32}
    \end{center}


  On souhaite déterminer à quelle distance le joueur aura l'angle de
  tir $\gamma = (\vv{AD},\vv{AC})$ le plus grand pour réussir son tir.
  \begin{enumerate}
  \item Conjecture

    On fixe $d$ = 10 m.
    \begin{enumerate}
    \item Avec un logiciel de géométrie, réaliser la figure. (On
      pourra créer le point $A$ mobile sur la droite perpendiculaire à
      ($CD$) passant par $B$.)
    \item Quelle est la valeur maximale pour $\gamma{}$ ?
    \item À quelle distance cela correspond-il pour le tireur ?
    \end{enumerate}

  \item Cas général
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\alpha$ s'exprime en fonction de $x$ et $d$.
    \item Application numérique avec $d = 5$~m.
    \item Compléter la phrase suivante : « Dans l'intervalle $\left[0\
        ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, quand $\gamma{}$ augmente, $\cos
      \gamma$ ................... ».
    \item Réaliser une table de valeurs de la fonction qui à $x$
      associe le cosinus de l'angle $\gamma{}$ pour $0 \leq x \leq 15$.
    \item Donner une mesure de l'angle de tir maximal à 0,1 degré
      près.
    \end{enumerate}

  \item Pour aller plus loin

    En considérant la fonction $g$ définie par :
    \[
    g(d) = \dfrac{x^2 + (d + 7,32) \times d}{\sqrt{x^2 + (d + 7,32)^2}
      \times \sqrt{d^2 + x^2}}
    \]

    peut-on justifier que l'angle de tir diminue quand on s'écarte
    latéralement du but, c'est-à-dire quand $d$ augmente, $x$ restant
    fixe ?
  \end{enumerate}
\end{exercice}
