\begin{exercice}[Portée maximale][\calculatrice]
  La portée d'un projectile correspond à la longueur entre la
  position d'où le projectile est l\^{a}ché par le système lui donnant
  son impulsion, et la position du point de chute du projectile. La
  portée est donc la projection horizontale d'une trajectoire courbe.

  \columnbreak

  À l'instant $t = 0$, l'objet est lancé depuis le sol et on note
  $\alpha{}$ l'angle initial du projectile avec l'horizontale
  $\left(\alpha \in \left[0 \ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\right)$. On
  suppose que le projectile est lancé à la vitesse $v=
  10$~m.s$^{-1}$. On néglige les frottements de l'air et on suppose
  que l'accélération de la pesanteur est $g = 9,8$~m.s$^{-2}$. 

  On peut montrer que la trajectoire du projectile est décrite par
  l'équation $y = \dfrac{-0,049}{\cos^2 \alpha} x^2 + \dfrac{\sin
    \alpha}{\cos(\alpha)} x$ où $x$ et $y$ sont les coordonnées du
  projectile dans le repère choisi.

  \textit{Exemple :} Trajectoire pour $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$

  {\centering\includestandalone[angle=90]{\pathmanuel/figures/img-31}\par}
  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de cette courbe ?
  \item On note $OP$ la distance obtenue quand le projectile retombe à
    terre.
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que : 

      $OP = \dfrac{1}{0,049} \times \cos\alpha \times (\sin\alpha +
      \sqrt{\sin^2 (\alpha)})$.
    \item  En déduire $OP = \dfrac{1}{0,049} \times \sin 2\alpha$.
    \item Quel angle permet d'avoir une portée maximale ?
    \end{enumerate}

  \item En fait, dans le cas général, on a :
    
    $y = \dfrac{-1}{2a\cos^2 \alpha} x^2 +
    \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} x + h$ où $a = \dfrac{v^2}{g}$.

    Deux lanceurs du poids réalisent chacun un lancer dont les
    caractéristiques sont les suivantes :

    \vspace{2mm}

    \begin{center}
    \begin{tabular}{|*4{c|}}
      \hhline{~---}
      \rowcolor{FondTableaux}
      \multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}}
      &   $\alpha$ (deg)  & $v$ (m.s$^{-1}$)  & $h$ (m)  \\  \hline
      \cellcolor{FondTableaux}Lanceur 1  &   43  &   13,7  &   2,62 \\  \hline
      \cellcolor{FondTableaux}Lanceur 2  &   41  &   13,8  &   2,45 \\  \hline
    \end{tabular}
    \end{center}

    \vspace{2mm}

  À l'aide de la calculatrice, déterminer lequel a lancé le plus loin
  le poids.
\end{enumerate}
\end{exercice}
