\begin{exercice}[Pentagone régulier]
  Soit $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ le pentagone régulier inscrit dans le
  cercle trigonométrique.

  \begin{center}
    \includegraphics{\pathmanuel/figures/img-30}
  \end{center}

  On a donc $(\vv{OA}_1,\vv{OA}_2) = (\vv{OA}_2,\vv{OA}_3) =
  \ldots{} = (\vv{OA}_3,\vv{OA}_4) = (\vv{OA}_4,\vv{OA}_5) =
  (\vv{OA}_5,\vv{OA}_1) = \dfrac{2\pi}{5}$.
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer les coordonnées des points $A_1$, $A_2$, $A_3$,
      $A_4$ et $A_5$ dans le repère ci-dessus.
    \item Calculer $\sin \dfrac{2\pi}{5} + \sin \dfrac{4\pi}{5} + \sin
      \dfrac{6\pi}{5} + \sin \dfrac{8\pi}{5}$.

    \item En déduire que le vecteur :

      $\vv{OA}_1 + \vv{OA}_2 + \vv{OA}_3 + \vv{OA}_4 + \vv{OA}_5$ 

      a pour coordonnées $\displaystyle\binom{a}{0}$ où $a$ est un
      nombre réel que l'on déterminera.
    \end{enumerate}
  \item En fait, on peut montrer que :

    $\vv{OA}_1 + \vv{OA}_2 + \vv{OA}_3 + \vv{OA}_4 + \vv{OA}_5 =
    \vv{0}$

    et donc $a = 0$. On l'admettra ici.
    \begin{enumerate}
    \item En déduire que $1 + 2\cos \dfrac{2\pi}{5} + 2\cos \dfrac{4\pi}{5} = 0$.
    \item En déduire que $4\cos^2 \dfrac{\pi}{5} + 2\cos
      \dfrac{2\pi}{5} - 1 = 0$.

    \item $\cos \dfrac{2\pi}{5}$ est donc une solution de l'équation du
      second degré $4x^2 + 2x - 1 = 0$. 

      En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{2\pi}{5}$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
