\begin{exercice}[Triangle magique]

L'objectif est de résoudre le système d'équations dans $]-\pi \ ;\  \pi]$.
\begin{equation}
\begin{cases}
  \cos 3x = 1\\
  \sin 3x = 0\tag{\textbf{1}}
\end{cases}\label{eq2-G2}
\end{equation}

\begin{enumerate}
\item Première méthode
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que les solutions de l'équation $\cos 3x=1$ dans $\R$
    s'écrivent : 

    $x = \dfrac{2k\pi}{3}$, $k \in \Z$.

  \item Montrer que les solutions de l'équation $\sin 3x=0$ dans $\R$
    s'écrivent :

    $x=\dfrac{k\pi}{3}$, $k\in\Z$.

  \item En déduire l'ensemble des solutions du système d'équations
    \textbf{\eqref{eq2-G2}} dans $\R$.

  \item Quelles sont les solutions du système d'équations~\textbf{\eqref{eq2-G2}}
    dans $]-\pi \ ;\  \pi]$ ?
  \end{enumerate}

\item Seconde méthode
  \begin{enumerate}
  \item En utilisant les formules d'addition, montrer les égalités
    suivantes, quel que soit $x$ réel : 

    $\cos 3x=4\cos^3 x - 3\cos x$.

  \item Montrer que l'équation $\cos 3x = 1$ est équivalente à $4X^3 -
    3X - 1 = 0$ en posant $X = \cos x$ ($X\in [-1 \ ;\  1]$).

  \item Montrer que pour tout nombre réel $X$ : 

    $4X^3 - 3X -1 = (X - 1)(4X^2 + 4X + 1)$.

  \item \label{ex62pointd} En déduire les solutions de l'équation:
    
    $4X^3 - 3X - 1 = 0$ 

    et conclure sur les solutions de l'équation :

    $\cos 3x=1$ dans $]-\pi \ ;\ \pi]$.

  \item Vérifier que les solutions trouvées en \textbf{2)d)} sont
    également solutions de $\sin 3x = 0$.
  \end{enumerate}

\item Représentation graphique
  \begin{enumerate}
  \item Placer sur le cercle trigonométrique les points-images des
    nombres réels solutions du système. On les notera $I$, $A$ et
    $B$.
  \item Quelle est la nature du triangle $IAB$ ?  

    Justifier.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
