\begin{activite}[Cosinus en double][\tice]
  \label{activite3G2}
  \habillage{\includestandalone{\pathmanuel/figures/img-05}} On utilise
  un logiciel de géométrie dynamique et on se place dans le repère
  orthonormé ($O$ ; $I$, $J$).
  \begin{enumerate}
  \item Tracer le cercle trigonométrique de centre $O$, le point\\
    $K(1 \ ;\  1)$ puis la droite ($IK$).

  \item Créer un point $M'$ sur le cercle $C$ dans le demi-plan\\
    supérieur puis l'arc de cercle $\sesamarc{IM'}$ de centre
    $O$. Le point
    $M'$\\ est le point image d'un point $M$ sur le cercle $C$ tel que\\
    la longueur $IM$ soit égale à la longueur de
    l'arc~$\sesamarc{IM'}$\kern-1pt.

    On note $\alpha{}$ la mesure, en radian, de l'angle géométrique\\
    $\widehat{IOM}$.  On a $\alpha\in{}\left[0\ ;\ \pi{}\right]$.
    \begin{enumerate}
    \item Quelles sont les coordonnées de $M$ ?
    \item Quelles sont les coordonnées de $M'$ ?
    \end{enumerate}

  \item On considère le point $N$ de
    coordonnées $\left(\cos\alpha{}\ ;\ \cos 2\alpha{}\right)$.
    \begin{enumerate}
    \item Créer le point $N$ en remarquant que $\alpha{}=y_M$, puis
      afficher la trace du point $N$ lorsque le point $M'$ décrit le
      cercle $C$.

    \item L'abscisse $x$ de $N$ vérifie $-1 \leq x \leq 1$. 

      Quelle semble être la trajectoire décrite par le point $N$ ?

    \item On pose $y=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ des nombres
      réels, l'équation de la courbe représentative correspondant à la
      trajectoire de $N$ sur l'intervalle $\left[-1\ ;\ 1\right]$. 

      On note sa forme canonique $y=a{\left(x-e\right)}^2+f$ où $e$ et
      $f$ sont des nombres réels. 

      Déterminer $e$ et $f$ par lecture graphique puis en déduire $a$
      par le calcul.

    \item En déduire la relation $\cos(2\alpha) = 2(\cos\alpha)^2 -1$.
    \end{enumerate}

    \item En utilisant cette relation :
      \begin{enumerate}
      \item calculer $\cos\dfrac{2\pi{}}{3}$ à l'aide de
        $\cos\dfrac{\pi{}}{3}$ ;
      \item calculer $\cos \dfrac{\pi}{8}$ ;
      \item montrer que quel que soit $x$ réel : $\cos 2 \alpha = 1 -
        2 (\sin \alpha)^2$.
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{activite}