\begin{TP}[Collision][\tice]

  Soit ($O \ ;\  I$, $J$) un repère orthonormé. L'unité est le mille
  nautique. 1~mn = \nombre{1852}~m.

  Un point $M$ est repéré dans le repère ($O \ ;\  I$, $J$) par ses
  coordonnées cartésiennes : son abscisse $x$ et son ordonnée $y$. Les
  angles orientés permettent également de décrire la position d'un
  point dans le plan.

  Un couple $(r,\alpha)$, formé par la distance $r = OM$ et $\alpha{}$
  une mesure de l'angle orienté $(\vv{OI},\vv{OM})$, constitue les
  coordonnées polaires du point $M$. Un employé de marine dont le
  bateau est au mouillage en $O$ surveille au radar deux navires de
  pêche l'\emph{Avel Diskan} (A) et le \emph{Breizh Nevez} (B).

  \partie{Radar et coordonnées polaires}

  \vspace{-\baselineskip}
  \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées cartésiennes des deux bateaux situés aux
    points $A$ et $B$, définis respectivement par les coordonnées polaires
    $\left(3\ ;\ \dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\left(4\ ;\ \dfrac{2\pi}{3}\right)$.

  \item Calculer la distance \textit{AB}.
  \end{enumerate}

  \partie{Trajectoire des deux bateaux}

  Un employé de marine dont le bateau est au mouillage en $O$
  surveille au radar deux navires de pêche l'\emph{Avel Diskan} et le
  \emph{Breizh Nevez} qui occupent successivement les positions $A_n$
  et $B_n$, $0\leq n\leq 36$. Les deux bateaux se déplacent sur
  l'écran du radar suivant les coordonnées suivantes : $A_n\left(3 -
  \dfrac{n}{20} \ ;\  \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{n\pi}{\nombre{1000}}\right)$ \quad et \quad
  $B_n \left(4 - \dfrac{n}{10} \ ;\  \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{n\pi}{54}\right)$.
  \begin{enumerate}
  \item À l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel,
    visualiser les positions successives des deux bateaux.

  \item Écrire un algorithme qui donne l'alerte lorsque que $A$ et $B$
    sont trop proches, à moins de trois encablures l'un de l'autre : $AB < 0,3$~mn.
  \end{enumerate}
\end{TP}