\begin{propriete} L'ensemble des points $M(x\ ;\ y)$ du plan tels que $ax+by+c=0$ avec $(a\ ;\ b)\neq(0\ ;\ 0)$ est une droite de vecteur directeur $\vv{u}\left(\begin{array}{c} -b\\a \end{array}\right)$.

\end{propriete}

\begin{remarque}$(a\ ;\ b)\neq(0\ ;\ 0)$ signifie que $a$ et $b$ ne peuvent pas être nuls simultanément.


\end{remarque}

\begin{preuve}  Appelons $D$ cet ensemble de points.
\begin{itemize}
	\item  Montrons d'abord que $D$ n'est pas vide c'est-à-dire qu'il contient bien au moins un point. Pour cela, on procède par disjonction des cas.
        \begin{itemize}
          \item Supposons d'abord que $a\neq 0$.

          On considère alors le point $A\left(-\dfrac{c}{a}\ ;\ 0\right)$ et on a :
          
          $ax_A+by_A+c=a\times\left(-\dfrac{c}{a}\right)+b\times 0+c=-c+c=0$ donc $A$ appartient à l'ensemble $D$.
          \item Supposons maintenant que $a=0$.

          On a alors $b\neq 0$ (puisque $(a\ ;\ b)\neq(0\ ;\ 0)$) et on montre de même que le point $A\left(0\ ;\ -\dfrac{c}{b}\right)$ appartient à $D$.
        \end{itemize}
  Dans les deux cas, il existe un point $A(x_A\ ;\ y_A)$ qui appartient à $D$, c'est-à-dire tel que

  $ax_A+by_A+c=0$.
\item Soit  $M(x\ ;\ y)\in D$, on a alors $ax+by+c=0$.

Des égalités $ax_A+by_A+c=0$ et $ax+by+c=0$, on déduit par soustraction que:

$a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$.

 Comme $\vv{AM}\covec{x-x_A}{y-y_A}$, en posant $\vv{u}\covec{-b}{a}$, on obtient :

 $M\in D\Leftrightarrow a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\Leftrightarrow(x-x_A)a-(-b)\times(y-y_A)=0$ :

 $\vv{u}$ et $\vv{AM}$ sont colinéaires, autrement dit $M$ appartient à la droite de vecteur directeur $\vv{u}\covec{-b}{a}$ passant par $A$.
\end{itemize}

\end{preuve}