\begin{propriete} Soit $\vv{u}\covec{x}{y}$ et $\vv{v}\covec{x'}{y'}$ deux vecteurs du plan.

$\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs \MotDefinition[coordonnées proportionnelles]{coordonnées sont proportionnelles}{}.

Autrement dit, ils sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$.
\end{propriete}


\begin{exemple*1}
\vspace{-\baselineskip}\begin{multicols}{2}
On considère les vecteurs $\vv{u}\covec{2}{-1}$ et $\vv{v}\covec{-6}{3}$.

Comme on a  $2\times3-(-6)\times(-1)=0$, les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.

\begin{center}
	 \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.12,-1.22)(4.4,4.22)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-1)(4,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.5pt}
\psaxes[labels=none,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=0]{->}(0,0)(-4,-1)(4,4)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=F1]{->}(1,3)(3,2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=G1]{->}(3,0)(-3,3)
\rput[tl](2.16,3.08){$\vv{u}$}
\rput[tl](-0.94,1.6){$\vv{v}$}
\rput[dl](-0.5,-0.4){$O$}
\rput(1,-0.5){1}
\rput(-0.5,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{exemple*1}

\begin{preuve} La propriété est évidente si $\vv{u}$ ou $\vv{v}$ est un vecteur nul.

Montrons qu'elle est également vraie sinon.
\begin{itemize}
	\item Soit $\vv{u}\covec{x}{y}$ et $\vv{v}\covec{x'}{y'}$ deux vecteurs colinéaires. 

Il existe un réel $k$ tel que $\vv{u}=k\vv{v}$ donc  $\vv{u}\covec{kx'}{ky'}$. Il en résulte que :
 
 $xy'-x'y=(kx')\times y'-x'\times (ky')=kx'y'-kx'y'=0$.
	\item Réciproquement, soit $\vv{u}\covec{x}{y}$ et $\vv{v}\covec{x'}{y'}$ deux vecteurs non nuls tels que  ${xy'-x'y=0}$. 
On a alors $xy'=x'y$, autrement dit les coordonnées $\covec{x}{y}$ sont proportionnelles aux coordonnées $\covec{x'}{y'}$ : si l'on note $k$ le coefficient de proportionnalité, on obtient $x=kx'$ et $y=ky'$ c'est-à-dire $\vv{u}=k\vv{v}$ donc $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
\end{preuve}
