\begin{exercice} Dans un triangle $ABC$, on considère deux points $D\in[AB]$ et $E\in[AC]$ distincts des extrémités des segments.

On souhaite montrer, par deux méthodes différentes, le théorème de Thalès :

si $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors : \[\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}.\]

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\partie[Avec les coordonnées]

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\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Donner les coordonnées de $A$, $D$ et $E$ dans le repère $\left(A;\vv{AD},\vv{AE}\right)$.
          \item Expliquer pourquoi il existe deux réels $k$ et $k'$ non nuls tels que l'on ait $B(k;0)$ et $C(0;k')$ dans ce repère.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Déterminer les coordonnées de $\vv{DE}$ et $\vv{BC}$ en fonction de $k$ et $k'$.
          \item En déduire que si $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors $k=k'$.
        \end{enumerate}
  \item Exprimer :
  \begin{itemize}
    \item $\vv{AB}$ en fonction de $\vv{AD}$ et $k$ ;
    \item $\vv{AC}$ en fonction de $\vv{AE}$ et $k$ ;
    \item $\vv{BC}$ en fonction de $\vv{DE}$ et $k$.
  \end{itemize}
  \item Conclure.
\end{enumerate}

\partie[Géométriquement]

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi il existe trois réels $k$, $k'$ et $k''$ tels que :
  \begin{itemize}
    \item $\vv{DE}=k\vv{BC}$
    \item $\vv{AD}=k'\vv{AB}$
    \item $\vv{AE}=k''\vv{AC}$
  \end{itemize}
  \item Montrer que $k\vv{BC}=k'\vv{BA}+k''\vv{AC}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item En déduire que $(k-k')\vv{BA}=(k''-k)\vv{AC}$.
          \item Justifier que si $k\neq k'$ alors on obtient une contradiction avec la situation de départ.

          Que peut-on en déduire ?
          \item Justifier qu'alors $k=k''$.
        \end{enumerate}
  \item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}