\begin{propriete} [Cas d'une suite géométrique]
  Soit la suite $u$ géométrique de raison $q$ et de premier terme
  ${u_0}$.

  Si ${u_0} > 0$ et $0 < q < 1$, alors la suite $u$ est décroissante.

  Si ${u_0} > 0$ et $q > 1$, alors la suite $u$ est croissante.

  Si ${u_0} < 0$ et $0 < q < 1$, alors la suite $u$ est croissante.

  Si ${u_0} < 0$ et $q > 1$, alors la suite $u$ est décroissante.

  Si $q < 0$, alors la suite $u$ n'est pas monotone.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  \begin{itemize}
  \item Soit la suite $u$ géométrique de raison $q$ et de premier terme
    ${u_0}$ avec ${u_0} > 0$ et $0 < q < 1$.

    Par définition, pour tout $n\in{}\N$, ${u_{n + 1}} = {u_n} \times
    q$ et ${u_n} > 0$. Pour tout $n\in{}\N$, $\dfrac{{{u_{n +
            1}}}}{{{u_n}}} = q < 1$ donc dans ce cas, $u$ est
    décroissante.
  \item L'exercice \RefExercice{exo53-A6} présente les preuves pour
    les autres cas.
  \end{itemize}
\end{preuve}

\begin{exemples*1}
  \begin{itemize}
  \item La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = -2n
    + 5$ est arithmétique de raison $-2$.  Elle est donc décroissante.
  \item La suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n = -2 \times
    \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ est géométrique de raison $0 <
    \dfrac{1}{3} < 1$ et de premier terme $v_n = -2 < 0$. Elle est
    donc croissante.
  \end{itemize}
\end{exemples*1}
