\subsection{Cas particulier}

\begin{propriete} [Cas d'une suite arithmétique]
  Soit la suite $u$ arithmétique de raison $r$ non nulle et de premier terme
  ${u_0}$.

  Si $r$ est négative, alors la suite $u$ est décroissante.

  Si $r$ est positive, alors la suite $u$ est croissante.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  Soit $u$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier
  terme ${u_0}$.

  Par définition, pour tout entier naturel $n$, ${u_{n + 1}} = {u_n} +
  r$.  Donc ${u_{n + 1}} - {u_n} = r$.
  \begin{itemize}
  \item Si $r$ est négative, alors, pour tout entier naturel $n$,
    ${u_{n + 1}} - {u_n} \leq 0$, c'est-à-dire ${u_{n + 1}} \leq {u_n}$.

    Dans ce cas, $u$ est décroissante.
  \item Si $r$ est positive, alors, pour tout entier naturel $n$,
    ${u_{n + 1}} - {u_n} \geq 0$, c'est-à-dire ${u_{n + 1}} \geq {u_n}$.

    Dans ce cas, $u$ est croissante.
  \end{itemize}
\end{preuve}
