\begin{methode} [Montrer qu'une suite est monotone par quotient de
  deux termes \MethodeRefExercice*{ex12A6}]

  Pour une suite à termes strictement positifs, on calcule le quotient $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ puis on
  compare avec la valeur 1 :
  \begin{itemize}
  \item si ce quotient est supérieur à 1, alors la suite est
    croissante ;
  \item si ce quotient est inférieur à 1, alors la suite est
    décroissante ;
  \item si cela dépend des valeurs de $n$, alors la suite n'est pas
    monotone.
  \end{itemize}

  \exercice\label{methode2A6}

  Étudier la monotonie de la suite $w$ définie pour tout entier
  naturel $n$ par :
  \[
  {w_n} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.
  \]

  \correction

  Pour tout entier naturel $n$ positif, les termes de la
  suite sont strictement positifs.
  \[
  \dfrac{w_{n + 1}}{w_n} = \dfrac{3^n}{3^n + 1} = \dfrac{3^n}{3^n
    \times 1} = \dfrac{1}{3} < 1.
  \]

  Donc pour tout entier naturel $n$, ${w_{n + 1}} \le {w_n}$.

  La suite $w$ est donc décroissante.
\end{methode}
