\begin{methode}[Montrer qu'une suite est monotone par différence de
  termes \MethodeRefExercice*{ex10A6} ]
  
  On calcule la différence ${u_{n + 1}} - {u_n}$ puis on regarde son
  signe :
  \begin{itemize}
  \item si cette différence est positive, alors la suite est
    croissante ;
  \item si cette différence est négative, alors la suite est
    décroissante ;
  \item si cette différence change de signe, alors la suite n'est pas
    monotone.
  \end{itemize}

  \exercice\label{methode1A6}

  Étudier la monotonie de la suite $v$ définie pour tout entier
  naturel $n$ par :
  \[
  {v_n} = {n^2} - 8n + 18.
  \]

  \correction

  Pour tout entier naturel $n$ :
  \begin{align*}
    v_{n + 1} - v_n &= \left( n + 1 \right)^2 - 8\left( n + 1 \right)
    + 18 - \left( n^2 - 8n + 18 \right)\\
    &= n^2 + 2n + 1 - 8n - 8 + 18 - n^2 + 8n - 18\\
    &= 2n - 7.
  \end{align*}

  Or $2n - 7 \ge 0$ pour $n \ge 3,5$ donc pour $n \ge 4$ :

  ${v_{n + 1}} - {v_n} \ge 0$, c'est-à-dire ${v_{n + 1}} \ge {v_n}$.

  La suite n'est pas monotone, cependant elle est croissante à partir
  du terme d'indice 4.
\end{methode}