\begin{exercice}[~][\algo\calc]
  On consid\`{e}re la suite $\left( {{u_n}} \right)$ d\'{e}finie sur
  $\N$ par $u_0 = 4$ et $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}{u_n} + \dfrac{3}{2}$.
  \begin{enumerate}
  \item Compl\'{e}ter l'algorithme suivant afin qu'il calcule et
    affiche les 10 premiers termes de la suite $\left( {{u_n}}
    \right)$.

    \begin{oldalgorithme}
\textit{Liste des variables utilis\'{e}es}
n est un entier naturel
u est un r\'{e}el
\textit{Entr\'{e}es}
Affecter \`{a} u la valeur ...
Affecter \`{a} n la valeur ...
\textit{Traitements}
Afficher la variable u
Pour n allant de ... \`{a} ...
Affecter \`{a} u la valeur ...
Afficher la variable u
Fin tant que%
    \end{oldalgorithme}

  \item En utilisant cet algorithme ou la calculatrice, conjecturer le
    sens de variations de la suite $\left( {{u_n}} \right)$ et son
    \'{e}ventuelle limite.

  \item Peut-on \'{e}tudier les variations de la suite $\left( {{u_n}}
    \right)$~\`{a} l'aide de la formule de r\'{e}currence ?

  \item D\'{e}monstration des variations \`{a} l'aide d'une suite
    auxiliaire

    On consid\`{e}re la suite $\left( {{v_n}} \right)$ d\'{e}finie sur
    $\N$ par :

    ${v_n} = {u_n} - 3$.
    \begin{enumerate}
    \item Calculer \`{a} la main ${v_0}$ et ${v_1}$.
    \item D\'{e}terminer la nature de la suite $\left( {{v_n}}
      \right)$.
    \item En d\'{e}duire la formule explicite de $v_n$ puis celle de~$u_n$.
    \item \'{E}tudier la monotonie de la suite $\left( {{u_n}}
      \right)$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
