\begin{exercice}[~][\algo]
  On consid\`{e}re la suite $\left( {{u_n}} \right)$ d\'{e}finie pour
  tout entier naturel $n$ non nul par :
  \[
  {u_n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n} = \sum\limits_{k = 1}^n
  {\dfrac{1}{k}} .
  \]
  \begin{enumerate}
  \item Calculer \`{a} la main les quatre premiers termes de la suite
    $\left(u_n \right)$.

  \item \'{E}tudier la monotonie de la suite $\left( {{u_n}} \right)$.

  \item $n$ \'{e}tant un entier naturel non nul, \'{e}crire un
    algorithme qui calcule les $n$ premiers termes de la suite
    $\left(u_n\right)$.

  \item Conjecturer la limite \'{e}ventuelle de la suite $\left(u_n
    \right)$.

  \item \'{E}crire un algorithme permettant de d\'{e}terminer un seuil
    $N$ (entier naturel non nul) tel que pour tout entier $n \ge N$,
    ${u_n} \ge {10^3}$ .
  \end{enumerate}
\end{exercice}