\begin{exercice}[Tapis de Sierpinski][\tice\algo]
  On décompose un carré de 81~cm de c\^{o}té en 9 carrés comme
  ci-dessous dans la figure~1. On noircit le carré central. Puis les
  8~carrés restants sont divisés en 9~carrés. Dans ces 8~carrés, on
  noircit le carré central et ainsi de suite\ldots{}

  \begin{center}
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-9}
  \end{center}

  \partie[Aire non noircie]

  Soit $\left( {{A_n}} \right)$ l'aire non noircie du carré à l'ordre
  $n$.
  \begin{enumerate}
  \item Calculer ${A_0},{A_1},{A_2}.$
  \item Trouver une relation liant ${A_{n + 1}}$ et ${A_n}$ pour tout
    entier~$n$.
  \item À l'aide d'un tableur ou d'un algorithme, conjecturer la
    limite de la suite $\left( {{A_n}} \right)$.
  \item Que peut-on en déduire ?
  \end{enumerate}

  \partie[Périmètre de la surface non noircie]

  Soit $\left( {{P_n}} \right)$ la somme des périmètres de tous les
  carrés à l'ordre $n$ (blancs et noirs)
  \begin{enumerate}
  \item Calculer ${P_0},{P_1},{P_2}.$
  \item Trouver une relation liant ${P_{n + 1}}$ et ${P_n}$ pour tout
    entier naturel~$n$.
  \item À l'aide d'un tableur ou d'un algorithme, conjecturer la
    limite de la suite $\left( {{P_n}} \right)$.
  \item Que peut-on en déduire ?
  \end{enumerate}
\end{exercice}
