\begin{exercice}[Achille et la tortue\\\hspace*{.75cm} ou le paradoxe de Zénon][\tice]

  Le philosophe grec Zénon raconte qu'un jour, le héros grec Achille a
  disputé une course contre une tortue.

  Achille avait accordé 100 mètres d'avance à la tortue réputée très
  lente.

  Zénon énon\c{c}a qu'Achille ne peut rattraper la tortue car, pendant
  qu'Achille court jusqu'au point o\`{u} a démarré la tortue, l'animal
  avance, de telle sorte qu'Achille ne peut jamais la rattraper.
  \begin{enumerate}
  \item Intuitivement, le fait qu'Achille ne rattrape jamais la tortue
    vous paraît-il correct ?

  \item En modélisant la situation, nous allons justifier que le
    raisonnement précédent est faux.

    Pour cela, nous allons considérer qu'Achille courait à
    10~m.s$^{-1}$ (proche du record du monde actuel) et la tortue à
    0,1 m.s$^{-1}$.

    On notera ${d_0}$ l'avance de la tortue, ${d_1}$ la distance
    parcourue par la tortue pendant qu'Achille parcourt la distance
    ${d_0}$, ${d_2}$ la distance parcourue par la tortue pendant
    qu'Achille parcourt la distance ${d_1}$ et de manière générale,
    ${d_n}$ la distance parcourue par la tortue pendant qu'Achille
    parcourt ${d_{n - 1}}$ pour tout~$n\in{}\N^*$.

    On notera ${t_n}$ le temps nécessaire à Achille pour parcourir la
    distance ${d_n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer ${t_0}$ puis ${d_1}$, ${t_1}$ et ${d_2}$.
  \item Justifier que pour tout entier naturel $n$:

    ${t_{n + 1}} = \dfrac{1}{{100}}{t_n}$.
  \item En déduire la nature de la suite $({t_n})$ et l'expression de
    ${t_n}$ en fonction de $n$.

    \columnbreak
  \item Exprimer alors $\sum\limits_{k = 0}^n {{t_k}} = {t_0} + {t_1}
    +... + {t_n}$ en fonction de $n$.
  \item Selon Zénon, il faut une infinité d'étapes pour rattraper la
    tortue.  À l'aide de la copie d'écran d'un logiciel de calcul
    formel ci-dessous, montrer que Zénon se trompe.
  \end{enumerate}
  
  \vspace{3mm}

  {\centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{\pathmanuel/figures/img-8.eps}
  \par}

  \vspace{3mm}

  \begin{cadre}[G1][G4]
    La situation décrite par Zénon appara\^{\i}t comme un paradoxe si
    l'on croit que la somme d'une infinité de nombres positifs est
    infinie.  Mais ce n'est pas le cas, comme on vient de le voir!
  \end{cadre}
\end{enumerate}
\end{exercice}
