\begin{exercice}[Conjecturer pour démontrer][\algo\tice]
  On considère la suite $({u_n})$ définie pour tout entier naturel $n$
  par son premier terme ${u_0} = 1$ et la relation de récurrence
  ${u_{n + 1}} = {u_n} + 6n + 5$.
  \begin{enumerate}
  \item Compléter l'algorithme suivant permettant de calculer les $n$
    premiers termes de la suite~o\`{u} $n$ est fixé par l'utilisateur.

\vspace{2mm}

    \begin{oldalgorithme}
\emph{Liste des variables utilisées}
n : entier naturel
u : réel
Entrées
Entrer n
Affecter à u la valeur 1
\textit{Traitements}
Pour i allant de 1 à ... faire
   Affecter à u la valeur ...
   Afficher u
Fin Pour%
    \end{oldalgorithme}

    À l'aide de cet algorithme, on obtient la table de valeurs suivante.

    \vspace{-\baselineskip}
    \begin{center}
      \begin{ctableau}{1.1\linewidth}{11}
        \hhline{-}\hline 
        $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline\hhline{-}
        ${u_n}$ & 1 & 6 & 17 & 34 & 57 & 86 & 121 & 162 & 209 & 262 \\
        \hline
      \end{ctableau}
    \end{center}

  \item On a représenté graphiquement les points de coordonnées $\left(
      {n\ ;\ u_n} \right)$ pour $n$ allant de 0 à 9 ci-dessous.

    \begin{center}
      \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-46}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
    \item Conjecturer le sens de variations de la suite $({u_n})$ puis
      démontrer cette conjecture.
    \item L'allure parabolique de cette représentation graphique permet de
      conjecturer que la forme explicite de la suite $({u_n})$ s'écrit :
      \[
      {u_n} = a{n^2} + bn + c
      \]

      o\`{u} $a$, $b$ et $c$ sont trois réels et $a \ne 0$.

      En utilisant les valeurs de ${u_0}$, ${u_1}$ et ${u_2}$ fournies
      par la table de valeurs, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et
      $c$.
    \end{enumerate}

    \vspace{-\baselineskip}
  \item Étude d'une suite auxiliaire

    Soit $({d_n})$la suite définie sur~$\N$ par~${d_n} = {u_{n + 1}} -
    {u_n}$.
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que la suite $({d_n})$ est arithmétique.

    \item Calculer ${S_n} = \sum\limits_{i = 0}^n {{d_n}} = {d_0} +
      {d_1} + ... + {d_n}$.

    \item En remarquant que :

      ${S_n} = ({u_1} - {u_0}) + ({u_2} - {u_1}) +... + ({u_{n + 1}} -
      {u_n})$ 

      et en simplifiant cette expression, déterminer l'expression de
      ${u_{n + 1}}$ en fonction de $n$.

    \item En déduire l'expression de ${u_n}$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
