\begin{exercice}[Vers le BAC][\algo\calc]
  On considère la suite $({u_n})$ définie pour tout entier naturel $n$
  non nul par son premier terme ${u_1} = 2$ et la relation de
  récurrence ${u_{n + 1}} = \dfrac{{(n + 1){u_n} + n - 1}}{{2n}}$.

\partie[Algorithme et conjecture]

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
\item  Écrire un algorithme permettant de calculer et d'afficher les 20
  premiers termes de la suite $({u_n})$.
\item À l'aide de cet algorithme ou de la table de valeurs de la
  calculatrice, conjecturer le sens de variations et la convergence de
  la suite $({u_n})$.
\end{enumerate}

\partie[Suite auxiliaire]

On considère la suite $({v_n})$ définie pour tout entier naturel $n
\ge 1$ par ${v_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{n}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $({v_n})$ est géométrique.
\item Écrire ${v_n}$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout $n \ge 1$ :
  \[
  {u_n} = n \times {\left(
      {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + 1.
  \]
\item Justifier que pour tout $n \ge 1$ :
  \[
  {u_{n + 1}} - {u_n} =
  {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}(1 - n).
  \]
\end{enumerate}

En déduire le sens de variations de la suite $({u_n})$.
\end{exercice}
