\begin{TP}[Le flocon de Koch][\tice]

  \textbf{Étape 0 :} On considère un triangle équilatéral dont les
  c\^{o}tés mesurent 1 unité.

  \textbf{Étape 1 :} On divise chaque segment en 4 segments de
  \textbf{m\^{e}me longueur} formant une ligne brisée.

  \begin{center}
    \includestandalone{\pathmanuel/figures/img-14}
  \end{center}

  \textbf{Étapes suivantes :} On recommence ce procédé en divisant
  chaque segment par quatre segments de m\^{e}me longueur formant une
  ligne brisée.

  À chaque étape, on obtient un polygone dont on va étudier l'aire et
  le périmètre.

  \begin{center}
    \raisebox{.7cm}{\includestandalone[scale=.8]{\pathmanuel/figures/img-15}}\hspace{2cm}
    \includestandalone[scale=.8]{\pathmanuel/figures/img-16}\hspace{2cm}
    \includestandalone[scale=.8]{\pathmanuel/figures/img-47}
  \end{center}

  \partie{Étude du périmètre de la figure}

  On appelle ${p_n}$le périmètre du polygone à l'étape $n$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer ${p_0}$, ${p_1}$ et ${p_2}$.
  \item Montrer que ${p_{n + 1}} = \dfrac{4}{3}{p_n}$ pour tout $n\in{}\N$.
  \item En déduire la nature de la suite $({p_n})$ et l'expression de
    ${p_n}$ en fonction de $n$.
  \item Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

    \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|}
    \hline
    1    &     Limite ($\Strut[2]\BotStrut[2] 3 \times \left( \dfrac{4}{3} \right)^n$, $n$, +infini)    \\    \hline
    &     + infini    \\    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

  Traduire ce résultat dans le cadre du problème traité.
\end{enumerate}

\partie{Étude de l'aire de la figure}

  On appelle ${a_n}$ l'aire du polygone à l'étape $n$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer ${a_0}$, ${a_1}$ et ${a_2}$.
  \item Montrer que ${a_{n + 1}} = {a_n} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{{4
        \times {3^n}}}$ pour tout $\ n\in{}\N$.
  \item Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

    \begin{center}   
  \begin{tabular}{|l|l|}
    \hline
    1   &   \Strut[2]\BotStrut[2.5]  a(n+1)=a(n)+ $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{4 \times {3^n}}}$, a(0)= $\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$    \\    \hline
    &    \Strut[2]\BotStrut[2.5] a(n)= $\dfrac{{5\sqrt 3      }}{8} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}$    \\    \hline
    2    & \Strut[2]\BotStrut[2.5]    Limite($\dfrac{{5\sqrt 3 }}{8} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{8}{\left( {\dfrac{1}{3}}      \right)^{n - 1}}$, $n$, +infini)    \\    \hline
    & \Strut[2]\BotStrut[2.5] $\dfrac{{5\sqrt 3 }}{8}$ \\    \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  Traduire ces résultats dans le cadre du problème traité.
\end{enumerate}

\begin{cadre}[G1][G4]
    Helge Von Koch, mathématicien suédois du
    \textsc{xx}\ieme{}~siècle, a ainsi exposé à la communauté
    scientifique pour la première fois, un polygone dont le périmètre
    peut \^{e}tre aussi grand que l'on veut, mais dont l'aire tend
    vers $\dfrac{{5\sqrt 3 }}{8}$ en restant toujours inférieure à
    cette valeur.
  \end{cadre}
\end{TP}