\begin{propriete} [Somme des $n + 1$ premi\`{e}res puissances d'un
  réel $q$ non nul et $q \ne 1$]

  Pour tout réel $q$ non nul et différent de 1,
  $\sum\limits_{k = 0}^n {{q^k} = } 1 + q + ... + {q^n} = \dfrac{{1 -
      {q^{n + 1}}}}{{1 - q}}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  On écrit la somme des $n + 1$ premi\`{e}res puissances d'un
  réel $q$ non nul et différent de 1 :
  \begin{equation}
    S = 1 + q + ... + {q^n}\tag{\textbf{1}}\label{eq3-A5}
  \end{equation}

  On multiplie $S$ par $q$ et on obtient
  \begin{equation}
    qS = q + {q^2} + ... + {q^{n + 1}}.\tag{\textbf{2}}\label{eq4-A5}
  \end{equation}

  On soustrait membre \`{a} membre les équations \eqref{eq3-A5} et
  \eqref{eq4-A5}, donc on obtient :
  \[
  \left( {1 - q} \right)S = 1 - {q^{n + 1}}, \text{ c'est-\`{a}-dire }
  S = \dfrac{{1 - {q^{n + 1}}}}{{\left( {1 - q} \right)}}.
  \]
\end{preuve}