\begin{theoreme} [Forme explicite d'une suite géométrique]
  \begin{itemize}
  \item Si $({u_n})$ est une suite géométrique de raison $q$,
    alors pour tout entier naturel $n$ on a :\\
    \hspace*{\fill}$ {u_n} = {u_0}{q^n}.  $\hspace*{\fill}\null

  \item Si $({u_n})$ est une suite géométrique de raison $q$,
    alors pour tous entiers naturels $n$ et $k$ on a :\\
    \hspace*{\fill}$ {u_n} = {u_k}{q^{n - k}}.  $\hspace*{\fill}\null

    \vspace{-\baselineskip}
  \end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{preuve}
  \begin{itemize}
  \item Par définition, on sait que pour tout entier naturel $n$,
    on a ${u_n} = q{u_n}$. 

    Donc $% \left\{ \begin{array}{c}
        {u_1} = q{u_0},\
        {u_2} = q{u_1},\
        {u_3} = q{u_2},\
        ... ,\
        {u_n} = q{u_{n - 1}}
      % \end{array} \right.
    $.

    On multiplie membre \`{a} membre et on obtient :

    \centerline{$
    {u_1} \times {u_2} \times ... \times {u_{n - 1}} \times {u_n} =
    {q^n} \times {u_0} \times {u_1}... \times {u_{n - 1}}
    $}

    On divise de chaque c\^{o}té par le terme ${u_1} \times {u_2}
    \times ...  \times {u_{n - 1}}$ et on obtient ${u_n} = {u_0} \times
    {q^n}$.

  \item Soient deux nombres entiers naturels $n$ et $k$.

    Comme $q \ne 0$, en écrivant la propriété
    précédente pour $k$, on obtient :

    \begin{equation}
      {u_k} = {u_0} \times {q^k} \Leftrightarrow {u_0} =
      \dfrac{{{u_k}}}{{{q^k}}}. \tag{\textbf{1}}\label{eq2-A5}
    \end{equation}

    D'autre part, ${u_n} = {u_0} \times {q^n}$.
    Donc en utilisant l'égalité \eqref{eq2-A5} :
    \begin{equation*}
      {u_n} = \dfrac{u_k}{q^k} \times {q^n} \quad
    \text{donc}\quad {u_n} = {u_k} \times {q^{n - k}}.
    \end{equation*}
  \end{itemize}
\end{preuve}
