\begin{propriete}
  La somme des $n$ premiers entiers naturels est égale \`{a}
  $\dfrac{{n(n + 1)}}{2}$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
  On peut exprimer la somme des $n$ premiers entiers naturels de deux
  mani\`{e}res :

  $\begin{aligned}[t]
    S = 1 &+ 2 &+ ... &+ n\\
    S = n &+ (n - 1) &+ ... &+ 1 \\\hline
    2S = (n + 1) &+ (n + 1) &+ ... &+ (n + 1)
  \end{aligned}$ On  additionne les deux égalités.

  Puis on obtient $2S = n\left(n + 1\right)$ d'o\`{u} le résultat
  $S = \dfrac{n\left( n + 1 \right)}{2}$.
\end{preuve}

\begin{notation}
  La somme de $k = 0$ \`{a} $n$ des ${u_k}$ se note $S = \sum\limits_{k
    = 0}^n {{u_k}} = {u_0} + {u_1} + ... + {u_n}$.

  Ainsi, la propriété précédente peut s'écrire
  $\sum\limits_{k = 0}^n {k = \dfrac{{n(n + 1)}}{2}} $.
\end{notation}
