\begin{theoreme}[Forme explicite d'une suite arithmétique]
  \begin{itemize}
  \item Si $({u_n})$ est une suite arithmétique de raison $r$,
    alors pour tout entier naturel $n$, on a :\\
    \hspace*{\fill} $ u_n = u_0 + nr.  $\hspace{\fill}\null

  \item Si $({u_n})$ est une suite arithmétique de raison $r$,
    alors pour tous les entiers naturels $n$ et $k$,\\
    on a : 
    
    \centerline{${u_n} = {u_k} + \left( {n - k} \right)r.$}

    \vspace{-\baselineskip}
  \end{itemize}
\end{theoreme}

\begin{preuve}
  \begin{itemize}
  \item Par définition, on sait que pour tout entier naturel $n$,
    on a ${u_n} = {u_n} + r$. 

    Donc $\left\{ \begin{array}{c}
        {u_1} = {u_0} + r\\
        {u_2} = {u_1} + r\\
        {u_3} = {u_2} + r\\
        ...\\
        {u_n} = {u_{n - 1}} + r
      \end{array} \right.$.

    On ajoute alors membre \`{a} membre et on obtient :
    \[ 
    {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n} = {u_0} + {u_1} + ... +
    {u_{n - 1}} + nr.
    \]

    On retranche de chaque c\^{o}té le terme ${u_1} + {u_2} +
    ... + {u_{n - 1}}$ et on obtient $ {u_n} = {u_0} + nr.  $

  \item Soient deux nombres entiers naturels $n$ et $k$. En
    écrivant la propriété précédente pour $k$, on
    obtient :
    \begin{equation}
      {u_k} = {u_0} + kr \text{ , soit } {u_0} = {u_k} - kr \tag{\textbf{1}}\label{eq1-A5}
    \end{equation}

    D'autre part : $ u_n = {u_0} + nr $ donc en utilisant
    l'égalité \eqref{eq1-A5} :

    $ {u_n} = {u_k} - kr + nr \text{ donc } {u_n} = {u_k} + (n - k)r $.
  \end{itemize}
\end{preuve}
