\begin{exercice}[D'apr\`{e}s Bac][\algo]

  La population de l'Allemagne (nombre de personnes r\'{e}sidant sur
  le territoire allemand) s'\'{e}levait \`{a} \nombre{81751602}
  habitants au premier janvier 2011.

  De plus, on sait qu'en 2011, le nombre de naissances en Allemagne ne
  compensait pas le nombre de d\'{e}c\`{e}s, et sans tenir compte des
  flux migratoires, on estime le taux d'\'{e}volution de la population
  allemande \`{a} $-0{,}22$ \%.

  On admet que cette \'{e}volution reste constante les ann\'{e}es
  suivantes.

  \textit{Les r\'{e}sultats seront arrondis \`{a} l'unit\'{e}.}

  \partie[À l'aide d'un algorithme]

  On propose l'algorithme~ci-après.

\begin{minipage}{1.1\linewidth}
  \begin{oldalgorithme}
\textrm{\textit{Entr\'{e}e}}
    Saisir un nombre entier naturel non nul S
\textrm{\textit{Initialisation}}
    Affecter \`{a} U la valeur \nombre{81751602}
    Affecter \`{a} N la valeur 0
\textrm{\textit{Traitement}}
    Tant que $U > S$
        Affecter \`{a} U la valeur 0,9978 $\times{}$ U
        Affecter \`{a} N la valeur  N + 1
    Fin tant que
\textrm{\textit{Sortie}}
Afficher N%
  \end{oldalgorithme}
\end{minipage}

\medskip

On saisit en entr\'{e}e le nombre \nombre{81200000}.
  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compl\'{e}ter le tableau suivant en arrondissant
    les valeurs \`{a} l'unit\'{e}.

\medskip

  \begin{tabular}{|*5{l|}}
    \hline
    \rowcolor{FondTableaux}\'{E}tape & Initialisation & \'{E}tape 1 & \'{E}tape 2 & \ldots{} \\    \hline
    Test U > S       &                         &                      &                      &                   \\    \hline
    U                &                         &                      &                      &                   \\    \hline
    N                &                         &                      &                      &                   \\    \hline
  \end{tabular}

  \medskip

  \item Quel nombre obtient-on en sortie ?
  \item Expliquer le r\^{o}le de cet algorithme.
  \end{enumerate}

  \partie[Par le calcul]

  On note ${u_n}$ l'effectif de la population de l'Allemagne au
  premier janvier $2011 + n$.
  \begin{enumerate}
  \item D\'{e}terminer ${u_0}$ et ${u_1}$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item D\'{e}terminer la nature de la suite (${u_n}$).
    \item En d\'{e}duire l'expression de ${u_n}$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}

  \item En supposant que cette \'{e}volution de $-0{,}22$~\% se
    confirme :
    \begin{enumerate}
    \item calculer l'effectif de la population de l'Allemagne au
      premier janvier 2035 ;
    \item à l'aide de la table de la calculatrice, d\'{e}terminer en
      quelle ann\'{e}e la population de l'Allemagne passera au-dessous
      du seuil de \nombre{81200000} habitants.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}
