\begin{TP}[Grande ou petite tornade ?][\tice]

  \vspace{-1.5mm}

  Au cours de son \'{e}volution, une tornade se d\'{e}place dans un
  corridor de quelques centaines de m\`{e}tres de large sur quelques
  kilom\`{e}tres de long.

  \vspace{2mm}

  \textcolor{J1}{\textbf{DOCUMENT 1 }}

  L'\'{e}chelle de Fujita est une \'{e}chelle servant \`{a} classer
  les tornades par ordre de gravit\'{e}, en fonction des
  d\'{e}g\^{a}ts qu'elles occasionnent.  Une partie de cette
  \'{e}chelle est pr\'{e}sent\'{e}e dans le tableau ci-dessous.

\begin{table}[h]\small
  \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|>{\raggedright}X|}
    \hline\rowcolor{FondTableaux} Cat\'{e}gorie & Vitesse des vents en km.h\up{-1}
    & D\'{e}g\^{a}ts occasionn\'{e}s    \tabularnewline    \hline
    F0    &     60 \`{a} 120    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts l\'{e}gers :} d\'{e}g\^{a}ts sur chemin\'{e}es,
    arbres, fen\^{e}tres...   \tabularnewline    \hline
    F1    &     120 \`{a} 180    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts mod\'{e}r\'{e}s : }automobiles renvers\'{e}es,
    arbres d\'{e}racin\'{e}s...   \tabularnewline    \hline
    F2    &     180 \`{a} 250    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts importants : }toits arrach\'{e}s, hangars
    et d\'{e}pendances d\'{e}molis...    \tabularnewline    \hline
    F3    &     250 \`{a} 330    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts consid\'{e}rables : }murs ext\'{e}rieurs et
    toits projet\'{e}s, maisons et b\^{a}timents de m\'{e}tal
    effondr\'{e}s, for\^{e}ts abattues...    \tabularnewline    \hline
    F4    &     330 \`{a} 420    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts d\'{e}vastateurs : }murs effondr\'{e}s, objets
    en acier ou en b\'{e}ton projet\'{e}s comme des missiles...    \tabularnewline    \hline
    F5    &     420 \`{a} 510    &     \textbf{D\'{e}g\^{a}ts incroyables :} maisons ras\'{e}es ou projet\'{e}es
    sur de grandes distances, murs ext\'{e}rieurs et toits arrach\'{e}s sur de gros b\^{a}timents...    \tabularnewline    \hline
  \end{tabularx}
\end{table}

  \textcolor{J1}{\textbf{DOCUMENT 2}}

  \begin{cadre}[G1][G3]
    \`{A} partir des mesures relev\'{e}es lors d'observations de
    ph\'{e}nom\`{e}nes semblables, des m\'{e}t\'{e}orologues ont admis
    la r\`{e}gle suivante : «la vitesse des vents dans les tornades
    diminue r\'{e}guli\`{e}rement de 10 \% toutes les 5 minutes».

    On appelle «dur\'{e}e de vie» d'une tornade le temps
    n\'{e}cessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents
    devienne inf\'{e}rieure \`{a} $120 \text{ km.h}^{-1}$.
  \end{cadre}

  Lors de la formation d'une tornade, on a mesur\'{e} la vitesse des
  vents par un radar m\'{e}t\'{e}orologique et on a trouv\'{e} une
  vitesse initiale de $420~\text{km.h}^{ - 1}$.

  \textit{L'objectif de ce probl\`{e}me est d'estimer la dur\'{e}e de
    vie de cette tornade.}

  \textit{Les r\'{e}sultats seront arrondis \`{a}
  1~km.h\up{-1}}.
  \begin{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Cinq minutes apr\`{e}s la mesure initiale, la vitesse des
      vents est de $378~\text{km.h}^{ - 1}$.

      V\'{e}rifier que ce r\'{e}sultat correspond \`{a} la r\`{e}gle
      admise.

      \`{A} quelle cat\'{e}gorie appartient la tornade \`{a} ce
      moment-l\`{a} ?

    \item V\'{e}rifier que, quinze minutes apr\`{e}s la mesure
      initiale, cette tornade occasionne des d\'{e}g\^{a}ts
      class\'{e}s comme «d\'{e}g\^{a}ts consid\'{e}rables».
    \end{enumerate}

  \item Pour d\'{e}terminer la dur\'{e}e de vie de cette tornade, un
    \'{e}tudiant propose d'utiliser une feuille de tableur pour
    d\'{e}terminer la cat\'{e}gorie d'une tornade.
    \begin{enumerate}
    \item \`{A} l'aide d'une feuille de tableur comme
      pr\'{e}sent\'{e}e ci-dessous, calculer la vitesse des vents en
      fonction du temps \'{e}coul\'{e} apr\`{e}s la mesure initiale et
      donner la cat\'{e}gorie de la tornade correspondante.

      \textit{On utilisera la fonction SI pour la cat\'{e}gorie de la
        tornade.}

      \vspace{2mm}

      {\centering\includegraphics[width=.8\linewidth,trim= 0 10 18
        0,clip]{\pathmanuel/figures/img-27.eps}\par\vspace{1mm}}

    \item Quelle est la dur\'{e}e de vie de cette tornade ?
    \end{enumerate}
    
  \item Un autre \'{e}tudiant propose de mod\'{e}liser le
    ph\'{e}nom\`{e}ne par une suite g\'{e}om\'{e}trique de raison~$q$.
    \begin{enumerate}
    \item Donner le premier terme et la raison de la suite
      g\'{e}om\'{e}trique propos\'{e}e par l'\'{e}tudiant.
    \item On d\'{e}signe par $({v_n})$ la suite g\'{e}om\'{e}trique
      propos\'{e}e par l'\'{e}tudiant. Exprimer ${v_n}$ en fonction de
      $n$.
    \item V\'{e}rifier la dur\'{e}e de vie de cette tornade \`{a}
      l'aide de la table de la calculatrice.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{TP}