\begin{TP}[Conjecture de Syracuse][\algo]

  On consid\`{e}re la suite dont les termes sont calcul\'{e}s \`{a}
  l'aide de l'algorithme ci-dessous.

  \begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
    \begin{enumerate}
    \item Compl\'{e}ter.

      La suite de Syracuse est d\'{e}finie par $u_{0} \in \N^*$ et
      pour tout entier naturel $n$ par :

      $\left\{ \begin{array}{l}
          {u_{n + 1}} = ..............{\text{           si }}............\\
          {u_{n + 1}} = ..............{\text{ sinon}}
        \end{array} \right.$

    \item Pour ${u_0} = 2$, calculer les 7 termes suivants de la suite
      de Syracuse.
    \item Pour ${u_0} = 12$, calculer les 12 termes suivants de la
      suite de Syracuse. Que remarque-t-on ?
    \item Pour ${u_0} = 7$, \'{e}mettre une conjecture sur les valeurs
      de ${u_n}$.
    \end{enumerate}
  \end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[t]{0.65\linewidth}
{\centering
  \begin{oldalgorithme}
\textrm{\textit{Entr\'{e}e}}
U est un nombre entier strictement positif
N est un nombre entier
I est un nombre entier
\textrm{\textit{Initialisation}}
Saisir U
Saisir N
\textrm{\textit{Traitement}}
Pour i allant de 1 \`{a} N
   Si U est pair
      Alors Affecter \`{a} U la valeur U/2
      Sinon Affecter \`{a} U la valeur 3*U+1
   Fin Si
   Affecter I
   Afficher U
Fin Pour%
  \end{oldalgorithme}
\par}
\end{minipage}

\vspace{3mm}

\begin{cadre}[G1][G3]
  \textbf{Conjecture de Syracuse :} Pour tout nombre entier
  strictement positif ${u_0}$, les termes de la suite de Syracuse
  prennent tous la valeur 1 \`{a} partir d'un certain rang.

  Malgr\'{e} une simplicit\'{e} apparente, cette conjecture n'a
  toujours pas \'{e}t\'{e} d\'{e}montr\'{e}e ou d\'{e}mentie.
\end{cadre}
\end{TP}
