\begin{methode*1}[Faire le lien entre extrema et dérivée \MethodeRefExercice*{1SF4_E_extrema}]
\begin{enumerate}
  \item On repère les extrema locaux de $f$ en lesquels $f'$ doit s'annuler en changeant de signe.
  \item On repère la nature de chaque extremum :
  \begin{enumerate}
   \item si c'est un maximum, la dérivée doit être positive \og avant \fg{} et négative \og après \fg{};
   \item si c'est un minimum, la dérivée doit être négative \og avant \fg{} et positive \og après \fg{}.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \exercice \label{1SF4_M_extrema_2}
 \parpic[r]{
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
   \draw [quadrillage] (-1,-1) grid (3,2);
   \axeX{-1}{3}{1}
   \axeY{-1}{2}{1}
   \origine
   \draw [domain=0:2.67, color=A1, epais, smooth] plot(\x,{(2*(\x)^3-9*(\x)^2+12*\x)/2-1});
   \draw (2.5,0.5) [color=A1] node {{\boldmath $\mathcal{C}_{f}$}};
  \end{tikzpicture}}
  \vspace{0.75em}
  \parbox[b][6em][t]{0.68\linewidth}{
 On considère une fonction $f$ dont on donne la représentation graphique ci-contre.\\
 Parmi les courbes ci-dessous, laquelle est susceptible de représenter $f'$ ?}
 
 \vspace{3em}
 
 \begin{multicols}{3}
  \begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
   \draw [quadrillage] (0,-1)grid (3,2);
   \axeX{-0.25}{3}{1}
   \axeY{-1}{2}{1}
   \origine
   \draw [domain=0.74:2.26, color=J1, smooth] plot(\x,{-3*(\x-2)*(\x-1)});
   \draw (1.5,1) [color=J1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_{1}$}};
  \end{tikzpicture}
  
  \begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
   \draw [quadrillage] (0,-1)grid (3,2);
   \axeX{-0.25}{3}{1}
   \axeY{-1}{2}{1}
   \origine
   \draw [domain=0.55:2.45, color=J1, smooth] plot(\x,{3*(\x-2)*(\x-1)});
   \draw (1.5,0.5) [color=J1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_{2}$}};
  \end{tikzpicture}
   
  \begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
   \draw [quadrillage] (0,-1)grid (3,2);
   \axeX{-0.25}{3}{1}
   \axeY{-1}{2}{1}
   \origine
   \draw [domain=0.36:2.22, color=J1, smooth] plot(\x,{-3*(\x-2)*(\x-1)^2});
   \draw (1.5,1) [color=J1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_{3}$}};
  \end{tikzpicture}
 \end{multicols}
 \vspace{-0.5em}
 \parbox[b][11.5em][t]{\linewidth}{
 \correction
 $f$ possède deux extrema locaux en $x=1$ et $x=2$. La dérivée doit donc s'annuler en changeant de signe en $x=1$ et $x=2$ : on peut donc éliminer $\mathcal{C}_3$ car la fonction associée à cette courbe ne change pas de signe en $x=1$.\\
 En $x=1$, l'extremum est un maximum donc $f'(x)$ doit être positive \og avant 1 \fg{} , s'annuler en 1 puis être négative \og après 1 \fg{}  : seule la courbe $\mathcal{C}_2$ convient.\\
 On peut vérifier avec l'autre extremum : en $x=2$ on a un minimum et la fonction associée à la courbe $\mathcal{C}_2$ est bien négative \og avant 2 \fg{} et positive \og après 2 \fg{}.}
\end{methode*1}