\begin{propriete}[Caractérisation d'un extremum]
 Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a \in I$.\\
 Si $f'$  s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$.
\end{propriete}

\begin{preuve}
 Traitons le cas où $f'(x)$ est strictement positive \og avant $a$ \fg, nulle en $a$ et strictement négative \og après $a$\fg. Mathématiquement, cela se traduit par l'existence d'un intervalle ouvert $J = ]a-\varepsilon \ ;\  a+\varepsilon[$ tel que $f'(x)>0$ sur $J_1 = ]a-\varepsilon \ ;\  a[$ et $f'(x)<0$ sur $J_2 = ]a \ ;\  a+\varepsilon[$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $J_1$ et strictement décroissante sur $J_2$. Cela signifie que pour tout $x \in J_1$, $f(x)>f(a)$ et pour tout $x \in J_2$, $f(x)<f(a)$ et donc, pour tout $x \in J, f(x) \leq f(a)$.
 \begin{multicols}{2}
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=2, yscale=2]
     \draw[axe,color=black] (-0.2,0) -- (2,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.8) -- (0,0.8);
	 \origine
	 \draw[domain=0.6:1.4, color=J1, smooth] plot(\x,{-1/2*(\x-1)*(\x+2)});
	 \draw(0.4,0.4) [color=J1] node[above] {{\boldmath $\mathcal{C}_{f'}$}};
     \draw[color=black] (1,-0.05) node[below] {$a$};
	 \draw (0.6,0) node {$]$};
	 \draw (1.4,0) node {$[$};
	 \draw[color=black] (0.6,-0.1) node[below] {$a - \varepsilon$};
     \draw[color=black] (1.4,-0.1) node[below] {$a + \varepsilon$};
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \columnbreak
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=2, yscale=2]
     \draw[axe,color=black] (-0.2,0) -- (2,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.2) -- (0,1.2);
	 \origine
	 \draw[domain=0.6:1.4, color=A1, smooth] plot(\x,{-(2*(\x)^3+3*(\x)^2-12*\x)/12});
	 \draw(1.5,0.6) [color=A1] node {{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
     \draw[color=black] (1,-0.05) node[below] {$a$};
	 \draw[color=black] (0,7/12) node[left] {$f(a)$};
	 \draw[color=black, dashed] (1,0)--(1,7/12);
	 \draw[color=black, dashed] (0,7/12)--(1,7/12);
	 \draw (0.6,0) node {$]$};
	 \draw (1.4,0) node {$[$};
	 \draw[color=black] (0.6,-0.1) node[below] {$a - \varepsilon$};
     \draw[color=black] (1.4,-0.1) node[below] {$a + \varepsilon$};
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \end{multicols}
 Le cas d'un minimum se traite de la même manière.
\end{preuve}
