%%%%%%%%%%%%%%%% II
\section{Extrema d'une fonction}
\begin{definition}[Extremum]
 \begin{enumerate}
  \item On dit que $f$ admet un \MotDefinition{maximum local}{} (resp. \MotDefinition{minimum local}{}) en $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenu dans $I$ et contenant $a$ tel que, pour tout $x \in J$ : $f(x) \leq f(a)$ (resp. $f(x) \geq f(a)$).
  \item Dire qu'une fonction admet un \MotDefinition{extremum local}{} signifie que $f$ admet un maximum local ou un minimum local.
 \end{enumerate}
  \vspace{-1.5em}
\end{definition}

\begin{remarque}
Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme $] \alpha \ ;\  \beta [$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que $\alpha < \beta$.
\end{remarque}

\begin{exemple*1}
 La fonction $f$ représentée ci-dessous est définie sur $I = [-1 \ ;\  2]$.\\
 \parbox{0.3\linewidth}{\begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
   \draw [quadrillage] (-1,-1) grid (2,2);
   \axeX{-1}{2}{1}
   \axeY{-1}{2}{1}
   \origine
   \draw [domain=-1:2, color=A1, epais, smooth] plot(\x,{-1/8*(\x)^5+1/4*(\x)^4+7/8*(\x)^3-3/2*(\x)^2+1});
   \draw (1,1.5) [color=A1] node [right]{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
  \end{tikzpicture}}
  \parbox{0.7\linewidth}{
 \begin{enumerate}
  \item $f$ admet un maximum local en $a=0$.\\En effet, prenons $J = ]-0,5 \ ;\  0,5[$ pour lequel on a bien $0 \in J \subset I$ et pour tout $x \in J$, $f(x) \leq 1$.
  \item $f$ admet un minimum local en $a=1$.\\En effet, prenons $J = ]0,5 \ ;\  1,5[$ pour lequel on a bien $1 \in J \subset I$ et pour tout $x \in J$, $f(x) \geq \dfrac{1}{2}$.
  \item On ne peut pas dire que $f$ admet un maximum local en $a=2$ car on ne peut pas trouver d'intervalle ouvert contenant $a$ et contenu dans $I$.
 \end{enumerate}}
\end{exemple*1}

