Dans tout le chapitre, on notera $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$.
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\section{Signe de la dérivée et variations}
\begin{propriete}[Du sens de variation de $f$ au signe de $f'(x)$]
 \begin{enumerate}
  \item Si $f$ est constante sur $I$, alors $f'(x) = 0$ pour tout réel $x$ de $I$.
  \item Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f'(x) \geq 0$ pour tout réel $x$ de $I$.
  \item Si $f$ est strictement décroissante sur $I$, alors $f'(x) \leq 0$ pour tout réel $x$ de $I$.
 \end{enumerate}
 \vspace{-1.5em}
\end{propriete}

\begin{preuve}
 Soit $x \in I$ et $h \neq 0$ tel que $x + h \in  I$.
 \begin{enumerate}
  \item $f$ est constante sur $I$ donc par définition : pour tous $u$ et $v$ de $I$, on a $f(u) = f(v)$. 

    En particulier, en posant $u = x+h$  et $v=x$, on obtient :
  \[
  \dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x) = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 0.
  \]
  Le membre de gauche de cette égalité tendant vers $f'(x)$ lorsque $h \to 0$, on en déduit que $f'(x) = 0$.
  \item $f$ est strictement croissante sur $I$ donc par définition : pour tous $u$ et $v$ de $I$ tels que $u < v$, on a $f(u) < f(v)$ . En particulier :
  \begin{itemize}
   \item Si $h>0$, alors $x < x+h$ et donc $f(x) < f(x+h)$, c'est-à-dire $f(x+h) - f(x) > 0$.   
   \item Si $h<0$, alors $x > x+h$ et donc $f(x) > f(x+h)$, c'est-à-dire $f(x+h) - f(x) < 0$.
   \begin{multicols}{2}
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
     \draw[axe,color=black] (-1,0) -- (4.5,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.5) -- (0,3.5);
	 \origine
     \draw[color=H1] (2.75,0) node[below] {$x$};
     \draw[color=C1] (3.5,0) node[below] {$x+h$};
     \draw[color=H1] (0,1.5125) node[left] {$f(x)$};
     \draw[color=C1] (0,2.45) node[left] {$f(x+h)$};
     \draw[color=H1, dashed, -] (2.75,0)--(2.75,1.5125);
	 \draw[color=C1, dashed, -] (3.5,0)--(3.5,2.45);
     \draw[color=H1, dashed, -] (0,1.5125)--(2.75,1.5125);
     \draw[color=C1, dashed, -] (0,2.45)--(3.5,2.45);
     \draw[domain=0.5:4.183, color=A1, smooth] plot(\x,{(\x*\x/5});
     \draw(3.75,3.25) [color=A1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
     \draw[color=black, ->] (2.75,0.2)--(3.5,0.2);
     \draw(3.125,0.45) [color=black] node{$h$};
	 \pointFigure{2.75}{1.5125}{A}{color=black, above};
	 \pointFigure{3.5}{2.45}{M}{color=black, above};
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \columnbreak
   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[general, xscale=1, yscale=1]
     \draw[axe,color=black] (-1,0) -- (4.5,0);
     \draw[axe,color=black] (0,-0.5) -- (0,3.5);
	 \origine
     \draw[color=C1] (2,0) node[below] {$x+h$};
     \draw[color=H1] (2.75,0) node[below] {$x$};
     \draw[color=C1] (0,0.8) node[left] {$f(x+h)$};
     \draw[color=H1] (0,1.5125) node[left] {$f(x)$};
     \draw[color=C1, dashed, -] (2,0)--(2,0.8);
	 \draw[color=H1, dashed, -] (2.75,0)--(2.75,1.5125);
     \draw[color=C1, dashed, -] (0,0.8)--(2,0.8);
     \draw[color=H1, dashed, -] (0,1.5125)--(2.75,1.5125);
     \draw[domain=0.5:4.183, color=A1, smooth] plot(\x,{(\x*\x/5});
     \draw(3.75,3.25) [color=A1] node{{\boldmath $\mathcal{C}_f$}};
     \draw[color=black, <-] (2,0.2)--(2.75,0.2);
     \draw(2.375,0.45) [color=black] node{$h$};
	 \pointFigure{2.75}{1.5125}{A}{color=black, above};
	 \pointFigure{2}{0.8}{M}{color=black, above};
    \end{tikzpicture}
   \end{center}
   \end{multicols}
  \end{itemize}
  $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x)$ (coefficient directeur de $(AM)$) est donc le quotient de deux quantités de même signe, donc toujours strictement positif. Lorsque $h \to 0$, on obtient intuitivement que $f'(x) \geq 0$.
  \item Même principe de démonstration que pour le 2\up{e} point.
 \end{enumerate}
\end{preuve}

\begin{remarque}
La limite d'une quantité strictement positive peut être égale à 0. Par exemple, admettons que l'on ait, pour tout $h > 0$, $\BotStrut[2]\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(x) = h$. Lorsque $h$ tend vers 0, ce taux d'accroissement tend donc vers 0 et on obtient $f'(x) = 0$.
\end{remarque}

\begin{exemple*1}
 \begin{enumerate}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On a donc $f'(x) = 2x$.\\
  $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty \ ;\  0]$ et on a bien $f'(x) \leq 0$ pour tout $x \in ]-\infty \ ;\  0]$.
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$. On a donc $f'(x) = 3x^2$.\\
  $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et on a bien $f'(x) \geq 0$ pour tout  $x \in \mathbb{R}$.
 \end{enumerate}
\end{exemple*1}

\begin{remarque}
 En pratique, on utilisera plutôt la propriété suivante (qui est presque réciproque de la précédente) car il est plus facile d'obtenir le signe d'une expression que le sens de variation d'une fonction.
\end{remarque}
