\begin{exercice}[~][\tice]
\parpic[r]{%
  \begin{tikzpicture}[general, scale=3/4]
  \pointFigure{0}{0}{A}{color=black, below left};
  \pointFigure{4}{0}{B}{color=black, below right};
  \pointFigure{4}{4}{C}{color=black, above right};
  \pointFigure{0}{4}{D}{color=black, above left};
  \pointFigure{1}{0}{M}{color=black, below};
  \pointFigure{4}{2}{E}{color=black, right};
  \pointFigure{0}{1.5}{N}{color=black, left};
  \draw[color=black] (0,0)--(4,0)--(4,4)--(0,4)--cycle;
  \fill[color=J2, opacity=0.5] (1,0)--(4,2)--(0,1.5)--cycle;
  \fill[shift={(1,0)}, rotate=34,color=A2] (0,0) rectangle (0.2,0.2);
 \end{tikzpicture}}

 On considère un carré $ABCD$ de côté 4. Soient $E$ le milieu de $[BC]$, $M$ un point mobile sur le segment $[AB]$ et $N$ le point de$[AD]$ tel que $MNE$ soit rectangle en $M$.

 Le but de l'exercice est de déterminer l'aire maximale de $MNE$ ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette aire maximale.

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 \begin{enumerate}
  \item Conjecturer la solution à l'aide d'un logiciel de géométrie.
  \item \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $\widehat{AMN} = \widehat{MEB}$.
   \item En utilisant la trigonométrie, en déduire que :
   \[MN = \dfrac{AM \times EM}{2}.\]
 \item En posant $x = AM$, en déduire qu'une expression de
   $\mathcal{A} : x \mapsto \mathcal{A}_{MNE}$ est $\mathcal{A}(x) =
   \dfrac{x^3}{4} - 2x^2 + 5x$
   \item Étudier cette fonction sur son ensemble de définition, que l'on précisera.
   \item Répondre au problème posé.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exercice}