\begin{exercice}[Démonstration] \label{1SF4_Appr_demo2}
 On souhaite démontrer la propriété laissée en exercice p. \pageref{1SF4_I_signe_variation} : on suppose que $f'(x) > 0$ sur $I$ et on veut démontrer que $f$ est strictement croissante sur $I$.
 \begin{enumerate}
  \item Soient $u$ et $v$ appartenant à $I$ tels que $u < v$. On veut montrer que $f(u) \ldots f(v)$.
  \item On considère la fonction (astucieuse) suivante :
   \[
   \begin{array}{ccccl}
	g & : & [u\ ;\ v] & \to & \mathbb{R} \\
	  &   & x          & \mapsto & f(x) - \dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-u).
   \end{array}
   \]
   \begin{enumerate}
    \item Démontrer que $g$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et donner la conclusion.
    \item Pour tout $x \in ]u \ ;\  v[$, calculer $g'(x)$.
    \item Conclure.
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exercice}