\begin{exercice}[Démonstration] \label{1SF4_Appr_demo1}
 On souhaite démontrer la propriété laissée en exercice p. \pageref{1SF4_II_extremum} : on suppose que $f$ admet un maximum local en $a$ et on veut démontrer que $f'(a)=0$.\\
 On note $J$ un intervalle ouvert, centré en $a$ et contenu dans $I$ : $J = ]a-\varepsilon\ ;\ a+\varepsilon[$. On considère le taux d'accroissement, pour tout $h \neq 0$ :
\[
\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a) = \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
\]

\columnbreak

\begin{enumerate}
 \item Questions préliminaires
 \begin{enumerate}
  \item Relier les notions ayant la même signification :
   \begin{colitemize}{2}
    \item $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a) \underset{\underset{h<0}{h \to 0}}{\to}$
    \item $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}(a) \underset{\underset{h>0}{h \to 0}}{\to}$
    \item $f'_{\text{droite}}(a)$
    \item $f'_{\text{gauche}}(a)$
   \end{colitemize}
  \item Lorsque $f$ est dérivable en $a$, que peut-on dire de $f'_{\text{gauche}}(a)$ et $f'_{\text{droite}}(a)$ ?
 \end{enumerate}
 
 \item Soit $h$ tel que $a+h \in ]a-\varepsilon \ ;\  a[$.
  \begin{enumerate}
   \item Quel est le signe de $h$ ?
   \item En déduire le signe du taux d'accroissement.
   \item En déduire le signe de $f'_{\ldots}(a)$.
  \end{enumerate}
 \item Refaire le raisonnement sur l'intervalle $]a\ ;\ a+\varepsilon[$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}
