\begin{exercice}[Puissance électrique]
 On considère le circuit suivant, comprenant :
 \begin{itemize}
  \item un générateur de courant continu de force électromotrice $E$ (en V) et de résistance interne $r$ (en $\Omega$);
  \item une résistance variable $R>0$ (en $\Omega$).
 \end{itemize}
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, scale=1.5]
   \coordinate (A) at (0,0);
   \coordinate (B) at (2,0);
   \coordinate (C) at (2,1);
   \coordinate (D) at (0,1);
   \coordinate (E) at (0.75,-0.1);
   \coordinate (F) at (1.25,-0.1);
   \coordinate (G) at (1.25,0.1);
   \coordinate (H) at (0.75,0.1);
   \coordinate (mEH) at (0.75,0);
   \coordinate (mFG) at (1.25,0);
   \coordinate (I) at (0.95,0.9);
   \coordinate (J) at (0.95,1.1);
   \coordinate (K) at (1.05,0.8);
   \coordinate (L) at (1.05,1.2);
   \coordinate (mIJ) at (0.95,1);
   \coordinate (mKL) at (1.05,1);
   \draw (A)--(mEH);
   \draw (mFG)--(B);
   \draw (B)--(C);
   \draw (C)--(mKL);
   \draw (mIJ)--(D);
   \draw (D)--(A);
   \draw[color=black, fill=J4] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;
   \draw (I)--(J); \draw (K)--(L);
   \draw[->] (0.8,-0.2)--(1.2,0.2);
   \draw (1,0.2) node {$R$};
   \draw (1,0.7) node {$(E\ ;\ r)$};
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 On note $U$ (en V) et $I$ (en A) la tension et l'intensité du courant aux bornes de la résistance (ou ici du générateur) ainsi que $P_{u} = UI$ (en W), la puissance utile restituée par le générateur, dissipée par la résistance.\\
 Le but de l'exercice est de déterminer la puissance maximale $P_{u}$ ainsi que la valeur de $R$ rendant cette puissance maximale.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la loi d'Ohm pour la résistance $R$.
  \item Expliquer brièvement pourquoi $U = E - rI$.
  \item Démontrer que $E = (R+r)I$ puis en déduire qu'une expression de $P_{u}$ en fonction de $R$ est :
   \[P_{u}(R) = \dfrac{E^2R}{(R+r)^2}.\]
  \item Étudier $P_{u}$ sur son ensemble de définition puis répondre au problème posé.
 \end{enumerate}
\end{exercice}