\begin{exercice}[Un cylindre dans un cône]
 \parpic[r]{
  \begin{tikzpicture}[general, scale=1]
   \draw[thin, color=G1] (-1,0) arc (180:360:1cm and 0.4cm) -- (0,3) -- cycle;
   \draw[thin, color=G1, dashed] (-1,0) arc (180:0:1cm and 0.4cm);
   \shade[left color=G1!5!white,right color=G1!40!white,opacity=0.1] (-1,0) arc (180:360:1cm and 0.4cm) -- (0,3) -- cycle;
   \draw[thin, color=G1, dashed] (0,0)--(0,3);
   \draw[thin, color=G1, dashed] (0,0)--(1,0);
   \draw[color=J1] (-0.5,0) arc (180:360:0.5cm and 0.2cm);
   \draw[dashed, color=J1] (-0.5,0) arc (180:0:0.5cm and 0.2cm);
   \draw[color=J1] (-0.5,0)--(-0.5,1.5);
   \draw[color=J1] (0.5,0)--(0.5,1.5);
   \draw[color=J1] (-0.5,1.5) arc (180:360:0.5cm and 0.2cm);
   \draw[color=J1] (-0.5,1.5) arc (180:0:0.5cm and 0.2cm);
   \draw[thin, color=J1, <->] (-1.2,0)--(-1.2,1.5);
   \draw (-1.4,0.75) [color=J1] node {$h$};
   \draw[thin, color=G1, <->] (-1.6,0)--(-1.6,3);
   \draw (-1.8,1.5) [color=G1] node {$H$};
   \draw[thin, color=J1, <->] (0,-0.5)--(0.5,-0.5);
   \draw (0.25,-0.7) [color=J1] node {$r$};
   \draw[thin, color=G1, <->] (-1,-0.5)--(0,-0.5);
   \draw (-0.5,-0.7) [color=G1] node {$R$};
  \end{tikzpicture}
 }
 On considère un cône de hauteur $H$ et de rayon $R$ et dans ce cône, un cylindre comme indiqué dans la figure ci-contre.\\
 Le but de l'exercice est de déterminer le volume maximal du cylindre ainsi que les dimensions $r$ et $h$ rendant ce volume maximal.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $h = \dfrac{H}{R}(R-r)$.
  \item Étudier $\mathcal{V} : r \mapsto \mathcal{V}_{\text{cylindre}}$ sur son ensemble de définition, que l'on précisera. Répondre ensuite au problème posé.\\
  Dans un premier temps, on pourra s'entraîner en commençant par étudier le cas particulier $H = 6$ et $R = 2$. On traitera ensuite le cas général.
  \item Dans le cas où le volume du cylindre est maximal, quel est le rapport entre les volumes du cône et du cylindre ?
 \end{enumerate}
\end{exercice}