\begin{exercice}[~][\tice]
 Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 1$, $\Gamma$ le demi-cercle de diamètre $[AB]$ et $M$ un point mobile sur $[AB]$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$ coupe $\Gamma$ en $N$. $P$ est le pied de la hauteur issue de $M$ dans le triangle $MNB$.\\
 Le but de l'exercice est de déterminer la longueur maximale de $[MP]$ ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette longueur maximale.
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, scale=1.5]
   \pointFigure{-1}{0}{A}{color=black, below};
   \pointFigure{1}{0}{B}{color=black, below};
   \draw[thin, color=B1] (-1,0) arc (180:0:1cm);
   \draw (-0.9,0.7) [color=B1] node {$\Gamma$};
   \pointFigure{0.5}{0}{M}{color=black, below};
   \pointFigure{0.5}{0.866}{N}{color=black, above};
   \draw[color=black, thin] (-1,0)--(1,0)--(0.5,0.866)--cycle;
   \draw[color=black, thin] (0.5,0)--(0.5,0.866);
   \pointFigure{0.875}{0.2165}{P}{color=black, above right};
   \draw[color=J1] (0.5,0)--(0.875,0.2165);
   \fill[shift={(0.5,0)}, rotate=90,color=A2] (0,0) rectangle (0.1,0.1);
  \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \begin{enumerate}
  \item Conjecturer la solution à l'aide d'un logiciel de géométrie.
  \item Résoudre le problème algébriquement.\\
  \emph{Indication} : on pourra commencer par démontrer que $AN = \sqrt{AM}$.
 \end{enumerate}
\end{exercice}