\begin{TP}[Problème d'optimisation][\tice]\label{1SF4_tp}
 \vspace{-1em}
 \parbox[b][10em][c]{0.70\linewidth}{
  On considère un carré $ABCD$ de côté 1 et $M$ un point mobile sur le segment $[AB]$.\\
  Les droites $(DM)$ et $(AC)$ se coupent en un point $E$.\\
  Le but est de déterminer l'aire colorée minimale ainsi que la ou les positions du point $M$ rendant cette aire minimale.
 }
 \parbox[b][10em][t]{0.25\linewidth}{\begin{tikzpicture}[general, scale=2.5]
  \pointFigure{0}{0}{A}{color=black, below left};
  \pointFigure{1}{0}{B}{color=black, below right};
  \pointFigure{1}{1}{C}{color=black, above right};
  \pointFigure{0}{1}{D}{color=black, above left};
  \pointFigure{1/3}{0}{M}{color=black, below};
  \pointFigure{0.25}{0.25}{E}{color=black, right};
  \draw[color=black] (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle;
  \fill[color=J2, opacity=0.5] (0,0)--(1,1)--(0,1)--(1/3,0)--cycle;
 \end{tikzpicture}}

\vspace{-\baselineskip}
 \partie{Étude expérimentale}

 \vspace{-1.5em}
 \begin{enumerate}
  \item Réaliser la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  \item Comme l'on s'intéresse à l'aire de la surface colorée, on veut tracer la fonction
  \[\ldots \mapsto \mathcal{A}_{AEM}+\mathcal{A}_{DEC}\]
  Quelle variable choisir ?
  \item Placer alors un point de coordonnées $(\ldots ; \mathcal{A}_{AEM}+\mathcal{A}_{DEC})$ et faire afficher son lieu lorsque $M$ parcourt le segment $[AB]$.
  \item Émettre une conjecture quant au problème posé.
 \end{enumerate}
 
 \partie{Étude algébrique}
 On pose $AM = x$ et on note $H$ et $K$ les pieds des hauteur issues de $E$ dans les triangles $EAM$ et $ECD$.
 \begin{enumerate}
  \item À quel intervalle appartient $x$ ?
  %\item Compléter la figure.
  \item Démontrer que :
  \[EH = \dfrac{x}{1+x} \quad \text{et} \quad EK = \dfrac{1}{1+x}.\]
  \item En déduire qu'une expression de l'aire colorée en fonction de $x$ est :
  \[\mathcal{A}(x) = \dfrac{x^2+1}{2(1+x)}.\]
  \item Représenter graphiquement cette fonction afin de vérifier que son graphe coïncide bien avec le lieu obtenu lors de l'étude expérimentale.
  \item Déterminer les variations de cette fonction sur son ensemble de définition puis répondre au problème posé.
 \end{enumerate}
\end{TP}