\begin{TP}[La Versiera di Agnesi - La Sorcière d'Agnesi][\tice]
 Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère le point $A(0 \ ;\  2)$, le cercle $\Gamma$ de diamètre $[OA]$ et une droite $(d)$ passant par $A$, confondue avec l'axe des ordonnées ou bien de coefficient directeur $m \in \mathbb{R}^\star$ variable.\\
 $(d)$ coupe $\Gamma$ en un point $K$ et l'axe des abscisses en un point $H$. On note $M(x_H \ ;\  y_K)$. 

 Le but de l'exercice est d'étudier le lieu du point $M$ lorsque $(d)$ pivote autour de $A$.
 
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general, xscale=1.2, yscale=1.2]
  \draw [quadrillage] (-2,-1)grid (3,3);
  \axeX{-2}{3}{1}
  \axeY{-1}{3}{1}
  \pointFigure{0}{0}{O}{color=black, below left};
  \pointFigure{0}{2}{A}{color=black, above right};
  \pointFigure{2.5}{0}{H}{color=black, below left};
  \pointFigure{40/41}{50/41}{K}{color=black, above right};
  \pointFigure{2.5}{50/41}{M}{color=black, above right};
  \draw[color=F1] (0,1) circle (1);
  \draw [domain=-1:3, color=D1, smooth] plot(\x,{-4/5*\x+2});
  \draw[color=G1, dashed] (2.5,-0.5)--(2.5,1.5);
  \draw[color=G1, dashed] (-0.5,50/41)--(3,50/41);
  \draw (-1,1.75) [color=F1] node [right]{$\Gamma$};
  \draw (-1,2.85) [color=D1] node [right]{$(d)$};
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
 
 \partie{Étude expérimentale}
 \vspace{-1.5em}
 \begin{enumerate}
  \item Réaliser la figure à l'aide d'un logiciel de géométrique dynamique.
  \begin{enumerate}
   \item Pour la construction de la droite $(d)$. Il y a sensiblement deux manières :
    \begin{itemize}
     \item[$\bullet$] Créer un curseur $m$ symbolisant le coefficient directeur de $(d)$ puis tracer $(d)$.
     \item[$\bullet$] Prendre $H$ comme point mobile sur l'axe des abscisses puis tracer $(d)$.
  \end{itemize}
   \item Faire afficher le lieu de $M$ (selon $m$ ou selon $H$).
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \partie{Obtention et étude algébrique de la fonction}
 \vspace{-1.5em}
 \begin{enumerate}
  \item Donner une équation de la droite $(d)$ en distinguant les deux cas décrits dans l'énoncé.
  \item Donner une équation du cercle $\Gamma$.
  \item En déduire les coordonnées des points $H$ et $K$.
  \item En déduire que $M$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$ définie par :
    \[f : x \mapsto \dfrac{2x^2}{x^2+4}.\]
  \item Déterminer les variations de $f$.
 \end{enumerate}
 
 \begin{cadre}[A1][A4]
  \textbf{Versiera} : le mot est visiblement ancien et il désigne une diablesse, une sorcière. Il provient, par aphérèse, d'\textbf{avversiera}, qui semble attesté en vieil italien. Il renvoie au latin \mbox{\textbf{adversarius}} (adversaire) qui désigne le diable.\\
 En 1703, le mathématicien \textcolor{A1}{\textbf{Guido Grandi}} (1671 - 1742) rédige en latin un ouvrage où il nomme cette courbe \textbf{versoria}, mot dérivé de \textbf{versare} (tourner, plier).\\
 En 1748, la mathématicienne \textcolor{A1}{\textbf{Maria Gaetana Agnesi}} (1718 - 1799), dans un ouvrage rédigé en italien, fait évoluer le mot et parle de \textbf{versiera}.\\
 En 1801, \textcolor{A1}{\textbf{John Colson}} (1680 - 1760), mathématicien de Cambrige, traduit le manuel d'Agnesi et confond les deux homonymes, nommant alors cette courbe \textbf{Witch Of Agnesi}.
 \end{cadre}
\end{TP}