\begin{methode*1}[Déterminer la fonction dérivée d'une fonction \MethodeRefExercice*{1SA3_E_calcul_derivee}]
 \begin{enumerate}
  \item On commence par identifier la forme de la fonction $f$ (somme, produit, inverse, quotient de fonctions usuelles).
  \item On détermine l'ensemble de définition et de dérivabilité.
  \item On dérive séparément chacune des fonctions composant $f$.
  \item On calcule $f'(x)$ en appliquant les formules de dérivation du cours.
 \end{enumerate}

 \exercice\label{1SA3_M_calcul_derivee}
  Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes:
  \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
    \item $f(x) = 7x^3-2x^2+5$ \vspace{1em}
    \item $g(x) = x\sqrt{x}$
    \item $h(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$
    \item $i(x) = \dfrac{x-3}{2x+4}$
   \end{enumerate}
  \end{multicols}

  \vspace{-5mm}
  
 \correction
  \begin{enumerate}
   \item $f$ est de la forme $u+v+w$ (somme) avec $u(x)=7x^3$, $v(x)=-2x^2$ et $w(x)=5$. 

     Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, il en est de même pour $f$.\\De plus, $u'(x) = 7 \times (3x^2) = 21x^2$, $v'(x) = -2\times(2x)=-4x$ et $w'(x)=0$. 

Ainsi, pour tout réel $x$ :
    \[
    f'(x) = 21x^2-4x.
    \]
  \item $g$ est de la forme $uv$ (produit) avec $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$. Ces deux fonctions sont définies sur $[0\ ;\  +\infty[$ et dérivables sur $]0\ ;\  +\infty[$, il en est de même pour $g$.\\De plus, $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$. Ainsi, pour tout $x > 0$:
    \[
    g'(x)=1 \times \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}.
    \]
  \item $h$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ (inverse) avec $v(x) = x^2+1$. $v$ est définie sur $\mathbb{R}$ et ne s'annule jamais donc $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.\\De plus, $v'(x) = 2x$. Ainsi, pour tout réel $x$ :
     \[
     h'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}.
     \]
  \item $i$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ (quotient) avec $u(x)=x-3$ et $v(x)=2x+4$. Ces deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ mais $v$ s'annule en $-2$. Donc $i$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace{-2}\rbrace$.\\De plus, $u'(x)=1$ et $v'(x)=2$. Ainsi, pour tout $x \neq -2 $:
    \[
    i'(x)=\dfrac{1 \times (2x+4)-(x-3) \times 2}{(2x+4)^2} = \dfrac{10}{(2x+4)^2}.
    \]
  \end{enumerate}
  Vérification pour les fonctions $g$ et $i$ à l'aide du logiciel de calcul formel Maxima.
  \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.5]{\pathmanuel/1SA3_INC/inc_1SA3_img/derivation_cours_g_maxima.eps}
   \qquad \qquad \qquad
   \includegraphics[scale=0.5]{\pathmanuel/1SA3_INC/inc_1SA3_img/derivation_cours_i_maxima.eps}
  \end{center}
\end{methode*1}